Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

B, получим Bw = Bw
1
+ · · · + Bw
s
. Отсюда следует, что BW ⊆
s
∑
i=1
BW
i
.
Обратно, если дан вектор вида Bw
1
+ · · · + Bw
s
, то он равен вектору
Bw, где w = w
1
+ · · · + w
s
. Отсюда следует обратное включение. Вви-
ду инвариантности относительно B все слагаемые Bw
i
принадлежат
подпространствам W
i
. Так как сумма подпространств W
i
прямая, то
из равенства Bw
′
1
+ · · · + Bw
′
s
= Bw
′′
1
+ · · · + Bw
′′
s
будет следовать, что
Bw
′
i
= Bw
′′
i
для всех i. Но это означает, что сумма подпространств BW
i
также будет прямой.
Пункт б) доказывается еще проще. Произвольный вектор w ∈ W
i
имеет вид w = α
1
u
1
+ · · · + α
l
u
l
. Следовательно, Bw = α
1
Bu
1
+ · · · +
α
l
Bu
l
∈ ⟨Bu
1
, . . . , B u
l
⟩. Это значит, что BW
i
⊆ ⟨Bu
1
, . . . , B u
l
⟩. Обратно,
если дан вектор α
1
Bu
1
+ · · · + α
l
Bu
l
∈ ⟨Bu
1
, . . . , Bu
l
⟩, то его можно
представить в виде B(α
1
u
1
+ · · · + α
l
u
l
) ∈ BW
i
.
Применим эти свойства к разложению в прямую сумму
V =
s
⊕
j=1
C
j
⊕ V
′
где каждое прямое слагаемое инвариантно относительно оператора (A−
λE)
k
. Получим следующее:
(A − λE)
k
V =
s
⊕
j=1
(A − λE)
k
C
j
⊕ (A − λE)
k
V
′
. (2.3.1)
Ограничение (A − λE)
k
на V
′
— невырожденный (т.е. биективный)
оператор, и поэтому (A − λE)
k
V
′
= V
′
. Как уже было замечено,
(A − λE)
k
C
j
= {0} при k ≥ m
j
. При k < m
j
(с учетом пункта б))
получим:
(A − λE)
k
C
j
= ⟨(A − λE)
k
v
j
, (A − λE)
k+1
v
j
, (A − λE)
m
j
−1
v
j
⟩.
Так как (A − λE)
m
j
v
j
= 0 по определению, то остальные базисные эле-
менты C
j
при действии на них (A − λE)
k
обращаются в нуль.
30
                                                                         ∑
                                                                         s
B, получим Bw = Bw1 + · · · + Bws . Отсюда следует, что BW ⊆                   BWi .
                                                                         i=1
Обратно, если дан вектор вида Bw1 + · · · + Bws , то он равен вектору
Bw, где w = w1 + · · · + ws . Отсюда следует обратное включение. Вви-
ду инвариантности относительно B все слагаемые Bwi принадлежат
подпространствам Wi . Так как сумма подпространств Wi прямая, то
из равенства Bw1′ + · · · + Bws′ = Bw1′′ + · · · + Bws′′ будет следовать, что
Bwi′ = Bwi′′ для всех i. Но это означает, что сумма подпространств BWi
также будет прямой.
   Пункт б) доказывается еще проще. Произвольный вектор w ∈ Wi
имеет вид w = α1 u1 + · · · + αl ul . Следовательно, Bw = α1 Bu1 + · · · +
αl Bul ∈ ⟨Bu1 , . . . , Bul ⟩. Это значит, что BWi ⊆ ⟨Bu1 , . . . , Bul ⟩. Обратно,
если дан вектор α1 Bu1 + · · · + αl Bul ∈ ⟨Bu1 , . . . , Bul ⟩, то его можно
представить в виде B(α1 u1 + · · · + αl ul ) ∈ BWi .
   Применим эти свойства к разложению в прямую сумму
                                       s
                                V = ⊕ Cj ⊕ V ′
                                      j=1

где каждое прямое слагаемое инвариантно относительно оператора (A−
λE)k . Получим следующее:
                                 s
               (A − λE)k V = ⊕ (A − λE)k Cj ⊕ (A − λE)k V ′ .              (2.3.1)
                                j=1

Ограничение (A − λE)k на V ′ — невырожденный (т.е. биективный)
оператор, и поэтому (A − λE)k V ′ = V ′ . Как уже было замечено,
(A − λE)k Cj = {0} при k ≥ mj . При k < mj (с учетом пункта б))
получим:

      (A − λE)k Cj = ⟨(A − λE)k vj , (A − λE)k+1 vj , (A − λE)mj −1 vj ⟩.

Так как (A − λE)mj vj = 0 по определению, то остальные базисные эле-
менты Cj при действии на них (A − λE)k обращаются в нуль.

                                           30

Страницы