Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 32 стр.

приведения матрицы оператора к жордановой нормальной форме. Сле-
довательно, и сама жорданова нормальная форма определена однознач-
но с точностью до расположения жордановых клеток.



        2.4. Минимальный многочлен линейного оператора

  Всюду в этом параграфе предполагается, что поле K — это либо поле
компплексных чисел C, либо поле действительных чисел R. Впрочем,
некоторые утверждения (и их доказательства) справедливы для любого
поля.

Теорема 2.4.1. Пусть A — квадратная матрица с элементами из
поля K. Существуют ненулевые многочлены f (x) ∈ K[x], такие, что
f (A) = 0. Выберем среди всех таких многочленов ненулевой многочлен
наименьшей положительной степени, и обозначим его через h(x). Тог-
да выполняются следующие свойства:

 1) h(A) = 0;

 2) f (A) = 0 тогда и только тогда, если f (x) = h(x)g(x) для некото-
    рого многочлена g(x) ∈ K[x];

 3) Матрица A обратима тогда и только тогда, если свободный член
    многочлена h(x) отличен от нуля;

 4) Если λ ∈ K — корень h(x), то λ — собственное значение мат-
    рицы A. Обратно, если λ — собственное значение A, то λ есть
    корень h(x).

  Доказательство.      Случай, когда A = 0, тривиален, и в даль-
нейшем мы будем предполагать, что A ̸= 0. Векторное пространство
квадратных матриц фиксированного размера является конечномерным

                                   32