Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

при i > 0 также должен быть ненулевым. Если бы это было не так, то
оказалось бы, что h = b
0
̸= 0, но тогда h(A) = b
0
E ̸= 0. Рассмотрим
равенство:
0 = h(A) = b
0
E+b
1
A+b
2
A
2
+· · ·+b
m
A
m
= b
0
E+A(b
1
E+b
2
A+· · ·+b
m
A
m−1
).
Так как b
0
̸= 0, то на этот элемент поля K можно разделить обе части
предыдущего равенства. В результате получим:
0 =
E
+
A
(
b
−1
0
b
1
E
+
b
−1
0
b
2
A
+
· · ·
+
b
−1
0
b
m
A
m−1
)
.
Положим u(x) = (−b
−1
0
b
1
) + (−b
−1
0
b
2
)x + · · · + (−b
−1
0
b
m
)x
m−1
. Тогда из
последнего полученного равенства следует, что
E = Au(A) = u(A)A.
Но это и означает, что у матрицы A есть обратная матрица, равная
u(A).
С другой стороны, если b
0
= 0, то из h(A) = 0 следует, что
0 = b
1
A + b
2
A
2
+ · · · + b
m
A
m
= A(b
1
E + b
2
A + · · · + b
m
A
m−1
).
Так как многочлен h(x) отличен от нуля, у него должен быть по край-
ней мере один ненулевой коэффициент. (Можно считать, что b
m
̸= 0).
Поэтому многочлен w(x) = b
1
+ b
2
x + · · · + b
m
x
m−1
не равен нулю. Так
как степень w строго меньше степени h, то w(A) ̸= 0 (это следует из
определения h). Таким образом, получено равенство:
0 = Aw(A),
где A ̸= 0 и w(A) ̸= 0. Теперь, если существует A
−1
, то немедленно
получается противоречие:
0 = A
−1
· 0 = A
−1
Aw(A) = w(A).
34
при i > 0 также должен быть ненулевым. Если бы это было не так, то
оказалось бы, что h = b0 ̸= 0, но тогда h(A) = b0 E ̸= 0. Рассмотрим
равенство:

0 = h(A) = b0 E+b1 A+b2 A2 +· · ·+bm Am = b0 E+A(b1 E+b2 A+· · ·+bm Am−1 ).

Так как b0 ̸= 0, то на этот элемент поля K можно разделить обе части
предыдущего равенства. В результате получим:

               0 = E + A(b−1         −1                 −1
                          0 b1 E + b 0 b 2 A + · · · + b0 bm A
                                                               m−1
                                                                   ).

Положим u(x) = (−b−1          −1                   −1
                  0 b1 ) + (−b0 b2 )x + · · · + (−b0 bm )x
                                                           m−1
                                                               . Тогда из
последнего полученного равенства следует, что

                              E = Au(A) = u(A)A.

Но это и означает, что у матрицы A есть обратная матрица, равная
u(A).
  С другой стороны, если b0 = 0, то из h(A) = 0 следует, что

        0 = b1 A + b2 A2 + · · · + bm Am = A(b1 E + b2 A + · · · + bm Am−1 ).

Так как многочлен h(x) отличен от нуля, у него должен быть по край-
ней мере один ненулевой коэффициент. (Можно считать, что bm ̸= 0).
Поэтому многочлен w(x) = b1 + b2 x + · · · + bm xm−1 не равен нулю. Так
как степень w строго меньше степени h, то w(A) ̸= 0 (это следует из
определения h). Таким образом, получено равенство:

                                    0 = Aw(A),

где A ̸= 0 и w(A) ̸= 0. Теперь, если существует A−1 , то немедленно
получается противоречие:

                       0 = A−1 · 0 = A−1 Aw(A) = w(A).

                                         34

Страницы