Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 35 стр.

  Пусть теперь λ — собственное значение A, Av = λv для некоторого
столбца v ̸= 0. Тогда Ai v = λi v для всех i ≥ 0, и
                           ∑
                           m                 ∑
                                             m
                                    i
                 h(A)v =         bi A v =          bi λi v = h(λ)v.
                           i=0               i=0

Это равенство справедливо для любого многочлена h(x), но если h(A) =
0, значит h(A)v = 0 (здесь справа от знака равенства стоит нулевой век-
тор!), откуда получаем h(λ)v = 0. Так как собственный вектор-столбец
v отличен от нуля, то это возможно лишь в случае, когда h(λ) = 0.
  Наконец, пусть h(λ) = 0 для некоторого λ ∈ K. Так как по теореме
Гамильтона-Кэли χA (A) = 0, то из уже доказанного пункта 2) следу-
ет, что χA (x) = h(x)g(x) для какого-то многочлена g(x). Подставляя λ
вместо x, получаем, что

                     χA (λ) = h(λ)g(λ) = 0 · g(λ) = 0.

Но, как известно, каждый корень характеристического многочлена мат-
рицы является собственным значением этогй матрицы (теорема 1.4.1 из
выпуска I).

Определение 2.4.1. Многочлен h(x), существование которого устана-
вливается предыдущей теоремой, называется минимальным многочле-
ном матрицы A, и обозначается через µA (x).

  Если имеются два многочлена, h1 (x) и h2 (x), удовлетворяющие свой-
ствам, определяющим минимальный многочлен матрицы A (то есть
hi (A) = 0 и степени hi минимальны, i = 1, 2), то, согласно пункту
2) теоремы 2.4.1, многочлен h1 (x) делится на h2 (x), а h2 (x) делится на
h1 (x). Отсюда следует, что h1 (x) = αh2 (x), где α — ненулевой элемент
поля K. Таким образом, минимальный многочлен линейного оператора
определен с точностью до скалярного множителя. Но если потребовать,

                                        35