Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

чтобы старший коэффициент этого многочлена был равен единице, то
такой мноочлен уже определяется полностью однозначно.
Наиболее интересные свойства минимального многочлена мы смо-
жем доказать лишь для тех случаев, когда выполняется теорема
Гамильтона-Кэли, которая утверждает, что χ
A
(A) = 0. Это влечет,
в частности, что характеристический многочлен без остатка делится
на минимальный многочлен. Теорема Гамильтона-Кэли верна для лю-
бой матрицы в случае, когда поле K есть поле комплексных чисел C,
или поле действительных чиселR. В случае произвольного поля она то-
же верна, но мы пока не располагаем средствами, чтобы это доказать.
В некоторых случаях (но далеко не во всех) минимальный многочлен
совпадает с характеристическим многочленом оператора.
Лемма 2.4.1. Минимальный многочлен матрицы A равен минималь -
ному многочлену матрицы B
−1
AB.
Доказательство. Утверждение леммы непосредственно следует
из тождества:
f(B
−1
AB) = B
−1
f(A)B (2.4.1)
Чтобы доказать это тождество, надо сначала установить его в частном
случае, при f(x) = x
m
. Если f(x) = x
m
, то
f(B
−1
AB) = (B
−1
AB)
m
= B
−1
ABB
−1
ABB
−1
AB . . . B
−1
AB.
После того, как все рядом стоящие B и B
−1
сократятся, правая часть
окажется равной B
−1
A
m
B, то есть B
−1
f(A)B. Если теперь f(x) =
k
∑
i=0
a
i
x
i
, то
f(B
−1
AB) =
k
∑
i=0
a
i
(B
−1
AB)
i
=
k
∑
i=0
a
i
(B
−1
A
i
B) =
B
−1
(
k
∑
i=0
a
i
A
i
)B = B
−1
f(A)B.
36
чтобы старший коэффициент этого многочлена был равен единице, то
такой мноочлен уже определяется полностью однозначно.
      Наиболее интересные свойства минимального многочлена мы смо-
жем доказать лишь для тех случаев, когда выполняется теорема
Гамильтона-Кэли, которая утверждает, что χA (A) = 0. Это влечет,
в частности, что характеристический многочлен без остатка делится
на минимальный многочлен. Теорема Гамильтона-Кэли верна для лю-
бой матрицы в случае, когда поле K есть поле комплексных чисел C,
или поле действительных чиселR. В случае произвольного поля она то-
же верна, но мы пока не располагаем средствами, чтобы это доказать.
В некоторых случаях (но далеко не во всех) минимальный многочлен
совпадает с характеристическим многочленом оператора.

Лемма 2.4.1. Минимальный многочлен матрицы A равен минималь-
ному многочлену матрицы B −1 AB.

      Доказательство.       Утверждение леммы непосредственно следует
из тождества:
                           f (B −1 AB) = B −1 f (A)B                          (2.4.1)
Чтобы доказать это тождество, надо сначала установить его в частном
случае, при f (x) = xm . Если f (x) = xm , то

        f (B −1 AB) = (B −1 AB)m = B −1 ABB −1 ABB −1 AB . . . B −1 AB.

После того, как все рядом стоящие B и B −1 сократятся, правая часть
окажется равной B −1 Am B, то есть B −1 f (A)B. Если теперь f (x) =
∑k
   ai xi , то
i=0

                 −1
                            ∑
                            k
                                           −1
                                                     ∑
                                                     k
             f (B AB) =           ai (B AB) =    i
                                                           ai (B −1 Ai B) =
                            i=0                      i=0
                                     ∑
                                     k
                            B −1 (         ai Ai )B = B −1 f (A)B.
                                     i=0

                                            36

Страницы