Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теперь очевидно, что если ненулевой многочлен f(x), таков, что f(A) =
0, то и f(B
−1
AB) = 0, и наоборот, если f(B
−1
AB) = 0, то f(A) = 0. Это
означает, что минимальные многочлены матриц A и B
−1
AB определя-
ются как многочлены наименьшей степени в одном и том же множестве
ненулевых многочленов, и можно считать, что это один и тот же (с
точностью до скалярного множителя) многочлен.
Эта лемма позволяет сделать вывод, что, как и в случае характе-
ристического многочлена, можно определить минимальный многочлен
линейного оператора A как минимальный многочлен матрицы этого
оператора в любом базисе. Из леммы 2.4.1 следует, что при переходе
к другому базису этот многочлен не изменится. Будем обозначать ми-
нимальный многочлен оператора A через µ
A
(x). Таким образом, если A
есть матрица A в некотором (каком угодно) базисе, то µ
A
(x) = µ
A
(x).
Теорему 2.4.1 иможно было бы доказать (практически теми же рас-
суждениями) сразу для минимального многочлена линейного оператора
(а не матрицы).
Лемма 2.4.2. Пусть матрица оператора A в некотором базисе име-
ет блочно-диагональный вид:
A =
A
1
0 . . . 0
0 A
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . A
k
Тогда µ
A
(x) = НОК(µ
A
1
(x), µ
A
2
(x), . . . , µ
A
k
(x)).
Доказательство. Начать можно с очевидного равенства:
A
n
=
A
n
1
0 . . . 0
0 A
n
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . A
n
k
37
Теперь очевидно, что если ненулевой многочлен f (x), таков, что f (A) =
0, то и f (B −1 AB) = 0, и наоборот, если f (B −1 AB) = 0, то f (A) = 0. Это
означает, что минимальные многочлены матриц A и B −1 AB определя-
ются как многочлены наименьшей степени в одном и том же множестве
ненулевых многочленов, и можно считать, что это один и тот же (с
точностью до скалярного множителя) многочлен.
   Эта лемма позволяет сделать вывод, что, как и в случае характе-
ристического многочлена, можно определить минимальный многочлен
линейного оператора A как минимальный многочлен матрицы этого
оператора в любом базисе. Из леммы 2.4.1 следует, что при переходе
к другому базису этот многочлен не изменится. Будем обозначать ми-
нимальный многочлен оператора A через µA (x). Таким образом, если A
есть матрица A в некотором (каком угодно) базисе, то µA (x) = µA (x).
   Теорему 2.4.1 иможно было бы доказать (практически теми же рас-
суждениями) сразу для минимального многочлена линейного оператора
(а не матрицы).
Лемма 2.4.2. Пусть матрица оператора A в некотором базисе име-
ет блочно-диагональный вид:
                                                        
                                  A1    0    ...    0
                                                        
                                                        
                                  0    A2 . . .    0    
                          A=      ..    .. . . .   ..   
                                   .     .          .   
                                                        
                                   0    0    . . . Ak
Тогда µA (x) = НОК(µA1 (x), µA2 (x), . . . , µAk (x)).
   Доказательство. Начать можно с очевидного равенства:
                                           
                            n
                         A 0 ... 0
                        1                  
                        0 An . . . 0 
                               2           
                  An =  .    .         .   
                        ..   .. . . . .. 
                                           
                                          n
                         0 0 . . . Ak

                                        37

Страницы