Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

для каждого n ≥ 0. Отсюда легко следует, что для любого многочлена
f(x) выполняется равенство:
f(A) =
f(A
1
) 0 . . . 0
0 f(A
2
) . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . f(A
k
)
Если f(x) = НОК(µ
A
1
(x), . . . , µ
A
k
(x)), то f(x) = µ
A
i
(x)g
i
(x) для каждого
i. И тогда для каждого i выполняется равенство f(A
i
) = µ
A
i
(A
i
)g
i
(A
i
) =
0. Поэтому f(A) = 0. Допустим, что для какого-то многочлена g(x)
выполнно равенство g(A) = 0. Отсюда следует, что g(A
i
) = 0 для
каждого i. А отсюда, ввиду пункта 2) теоремы 2.4.1, следует, что
g делится на µ
A
i
(x) для всех i. А значит, g(x) делится на f(x) =
НОК(µ
A
1
(x), . . . , µ
A
k
(x)). Следовательно, f(x) удовлетворяет определе-
нию минимального многочлена матрицы A.
Лемма 2.4.3. Пусть f(x) — многочлен с коэффициентами из поля K,
J
n
(λ) — жорданова клетка порядка n. Тогда
f(J
n
(λ)) =
f(λ) f
′
(λ)/1! f
′′
(λ)/2! f
′′′
(λ)/3! . . . f
(n−1)
(λ)/(n − 1)!
0 f(λ) f
′
(λ)/1! f
′′
(λ)/2! . . . f
(n−2)
(λ)/(n − 2)!
0 0 f(λ) f
′
(λ)/1! . . . f
(n−3)
(λ)/(n − 3)!
0 0 0 f(λ) . . . f
(n−4)
(λ)/(n − 4)!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 0 . . . f(λ)
Доказательство. Заметим, что i, j-й элемент матрицы в правой
части равенства есть f
(j−i)
(λ)/(j − i)!.
Основная часть работы будет состоять в доказательстве равенства
для f(x) = x
m
при произвольном m. В этом случае f
(k)
(x)/k! = C
k
m
x
m−k
при k ≤ m, и f
(k)
(x)/k! = 0 при k > m. Напомним, что C
k
m
=
m!
k!(m − k)!
.
38
для каждого n ≥ 0. Отсюда легко следует, что для любого многочлена
f (x) выполняется равенство:
                                                                 
                          f (A1 )    0            ...     0
                                                                 
                         0                                       
                                 f (A2 )         ...     0       
                f (A) =  .          ..                   ..      
                         ..          .           ...      .      
                                                                 
                             0       0            . . . f (Ak )

Если f (x) = НОК(µA1 (x), . . . , µAk (x)), то f (x) = µAi (x)gi (x) для каждого
i. И тогда для каждого i выполняется равенство f (Ai ) = µAi (Ai )gi (Ai ) =
0. Поэтому f (A) = 0. Допустим, что для какого-то многочлена g(x)
выполнно равенство g(A) = 0. Отсюда следует, что g(Ai ) = 0 для
каждого i. А отсюда, ввиду пункта 2) теоремы 2.4.1, следует, что
g делится на µAi (x) для всех i. А значит, g(x) делится на f (x) =
НОК(µA1 (x), . . . , µAk (x)). Следовательно, f (x) удовлетворяет определе-
нию минимального многочлена матрицы A.

Лемма 2.4.3. Пусть f (x) — многочлен с коэффициентами из поля K,
Jn (λ) — жорданова клетка порядка n. Тогда
                                                                                            
               f (λ) f ′ (λ)/1! f ′′ (λ)/2! f ′′′ (λ)/3! . . .    f   (n−1)
                                                                              (λ)/(n − 1)!
                                                                                      
              0        f (λ)   f ′ (λ)/1! f ′′ (λ)/2! . . .      f       (λ)/(n − 2)! 
                                                                      (n−2)
                                                                                      
                                                                                      
              0          0        f (λ)    f ′ (λ)/1! . . .      f (n−3)
                                                                          (λ)/(n − 3)! 
             
f (Jn (λ)) =                                                                          
                                                                                       
              0          0           0         f (λ)    ...      f (n−4)
                                                                          (λ)/(n − 4)! 
              .                                                                       
              ..          ..
                            .
                                      ..
                                       .
                                                   ..
                                                    .    ...                  ..
                                                                               .       
                                                                                      
                 0        0           0            0     ...               f (λ)
   Доказательство. Заметим, что i, j-й элемент матрицы в правой
части равенства есть f (j−i) (λ)/(j − i)!.
   Основная часть работы будет состоять в доказательстве равенства
для f (x) = xm при произвольном m. В этом случае f (k) (x)/k! = Cmk m−k
                                                                   x
при k ≤ m, и f (k) (x)/k! = 0 при k > m. Напомним, что Cm
                                                        k
                                                          =      m!     .
                                                             k!(m − k)!
                                          38

Страницы