Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

получим:
λ·C
j−i
m
λ
m−j+i
+1·C
j−i−1
m
λ
m−j+i+1
= (C
j−i
m
+C
j−i−1
m
)λ
m−j+i+1
= C
j−i
m+1
λ
m−j+i+1
.
Последнее равенство вытекает из тождества (2.4.2). Но именно элемент
C
j−i
m+1
λ
m−j+i+1
должен находиться на i, j- месте в матрице J
n
(λ)
m+1
, сде-
ланное предположение о виде матрицы J
n
(λ)
m+1
справедливо. Таким
образом, индуктивное рассуждение проведено успешно, и равенство для
J
n
(λ)
m
установлено.
Случай произвольного f(x) легко следует из уже доказаного. Во-
первых, если f(x) =
m≥0
a
m
x
m
, то f(J
n
(λ)) =
m≥0
a
m
J
n
(λ)
m
. Отсюда
следует, что каждый i, j-й элемент матрицы f(J
n
(λ)) есть линейная
комбинация i, j-х элементов матриц J
n
(λ)
m
с коэффициентами a
m
, то
есть это
m≥0
a
m
(λ
m
)
(j−i)
/(j − i)!. Здесь через (λ
m
)
(j−i)
обозначен резуль-
тат подстановки элемента λ вместо x в многочлен (x
m
)
(j−i)
. Но так как
n≥0
a
m
x
m
(k)
=
n≥0
a
m
(x
m
)
(k)
,
то
m≥0
a
m
(λ
m
)
(j−i)
/(j − i)! = f
(j−i)
(λ)/(j − i)!,
что и требовалось доказать.
Теорема 2.4.2. Минимальный многочлен жордановой клетки J
n
(λ)
равен (x − λ)
n
.
Доказательство. Пусть f(x) = (x − λ)
n
. Тогда λ будет корнем
всех производных f
(k)
(x) при 0 ≤ k ≤ n − 1. Согласно предыдущей лем-
ме 2.4.3, отсюда следует, что f(J
n
(λ)) = 0. С другой стороны, из леммы
2.4.3 также следует, что если для какого-то многочлена g(x) выполня-
ется равенство g(J
n
(λ)) = 0, то λ является корнем всех производных
40
получим:

   j−i m−j+i     j−i−1 m−j+i+1     j−i   j−i−1 m−j+i+1    j−i m−j+i+1
λ·Cm  λ      +1·Cm    λ        = (Cm   +Cm    )λ       = Cm+1 λ       .

Последнее равенство вытекает из тождества (2.4.2). Но именно элемент
 j−i m−j+i+1
Cm+1 λ       должен находиться на i, j-месте в матрице Jn (λ)m+1 , сде-
ланное предположение о виде матрицы Jn (λ)m+1 справедливо. Таким
образом, индуктивное рассуждение проведено успешно, и равенство для
Jn (λ)m установлено.
  Случай произвольного f (x) легко следует из уже доказаного. Во-
                     ∑                         ∑
первых, если f (x) =   am xm , то f (Jn (λ)) =   am Jn (λ)m . Отсюда
                          m≥0                              m≥0
следует, что каждый i, j-й элемент матрицы f (Jn (λ)) есть линейная
комбинация i, j-х элементов матриц Jn (λ)m с коэффициентами am , то
         ∑
есть это   am (λm )(j−i) /(j − i)!. Здесь через (λm )(j−i) обозначен резуль-
          m≥0
тат подстановки элемента λ вместо x в многочлен (xm )(j−i) . Но так как
                   (           )(k)
                    ∑                 ∑
                             m
                        am x        =   am (xm )(k) ,
                         n≥0                  n≥0

то
                ∑
                      am (λm )(j−i) /(j − i)! = f (j−i) (λ)/(j − i)!,
                m≥0
что и требовалось доказать.

Теорема 2.4.2. Минимальный многочлен жордановой клетки Jn (λ)
равен (x − λ)n .

     Доказательство. Пусть f (x) = (x − λ)n . Тогда λ будет корнем
всех производных f (k) (x) при 0 ≤ k ≤ n − 1. Согласно предыдущей лем-
ме 2.4.3, отсюда следует, что f (Jn (λ)) = 0. С другой стороны, из леммы
2.4.3 также следует, что если для какого-то многочлена g(x) выполня-
ется равенство g(Jn (λ)) = 0, то λ является корнем всех производных

                                         40

Страницы