Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

A
1
0 . . . 0
0 A
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . A
k
(2.4.3)
где каждая матрица A
i
есть блочно-диагональная матрица: состоящая
из жорданоых клеток вида J
t
(λ
i
) с, возможно, различными t, но с од-
ним и тем же значением λ
i
. Значения же λ
1
, . . . , λ
k
будем предполагать
попарно различными. Таким образом, для каждого i
A
i
=
J
t
1
(λ
i
) 0 . . . 0
0 J
t
2
(λ
i
) . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . J
t
p
(λ
i
)
где числа p, t
1
, . . . , t
p
зависят от индекса i. Теперь можно использовать
лемму 2.4.2 и теорему 2.4.2, чтобы найти минимальный многочлен этой
матрицы. Он будет равен
НОК((x − λ
i
)
t
1
, . . . , (x − λ
i
)
t
p
),
а этот многочлен, очевидно, равен (x − λ
i
)
s
i
, где s
i
= max(t
1
, . . . , t
p
).
(Напомним еще раз, что числа p, t
1
, . . . , t
p
зависят от i, и для другого
индекса могут быть совершенно иными.)
Теперь снова применим лемму 2.4.2 для матрицы (2.4.3). Так как
все собственные значения λ
i
различны, то наименьшее общее кратное
многочленов (x − λ
i
)
s
i
при i = 1, . . . , k, равно их произведению. Это и
есть то утверждение, котороетребовалось доказать.
42
                                                          
                                A1      0    ...     0
                                                          
                                                          
                                0      A2 . . .     0     
                                ..      .. . . .    ..                  (2.4.3)
                                 .       .           .    
                                                          
                                 0      0    . . . Ak
где каждая матрица Ai есть блочно-диагональная матрица: состоящая
из жорданоых клеток вида Jt (λi ) с, возможно, различными t, но с од-
ним и тем же значением λi . Значения же λ1 , . . . , λk будем предполагать
попарно различными. Таким образом, для каждого i
                                                                     
                            Jt1 (λi )       0       ...        0
                                                                     
                                                                     
                               0        Jt2 (λi ) . . .       0      
                   Ai =        ..           ..                ..     
                                .            .     ...         .     
                                                                     
                                0           0       . . . Jtp (λi )
где числа p, t1 , . . . , tp зависят от индекса i. Теперь можно использовать
лемму 2.4.2 и теорему 2.4.2, чтобы найти минимальный многочлен этой
матрицы. Он будет равен

                      НОК((x − λi )t1 , . . . , (x − λi )tp ),

а этот многочлен, очевидно, равен (x − λi )si , где si = max(t1 , . . . , tp ).
(Напомним еще раз, что числа p, t1 , . . . , tp зависят от i, и для другого
индекса могут быть совершенно иными.)
   Теперь снова применим лемму 2.4.2 для матрицы (2.4.3). Так как
все собственные значения λi различны, то наименьшее общее кратное
многочленов (x − λi )si при i = 1, . . . , k, равно их произведению. Это и
есть то утверждение, котороетребовалось доказать.




                                            42

Страницы