Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4. v + (−1)v = 0 для любого вектора v ∈ V . Здесь −1 ∈ K, и элемент
(−1)v обычно обозначается через −v. В частности, v−u = v+(−1)u.
5. 1v = v для любого вектора v ∈ V . Здесь 1 ∈ K.
6. α(v
1
+ v
2
) = αv
1
+ αv
2
для каждого α ∈ K и любых векторов v
1
, v
2
∈
V .
7. (αβ)v = α(βv) для любых α, β ∈ K и каждого v ∈ V . Отсюда, в
частности, следует, что (−α)v = −(αv).
8. (α + β)v = αv + βv для любых α , β ∈ K и каждого v ∈ V . Отсюда,
в частности, следует, что 0v = 0, причем тот нуль, который стоит
слева от знака равенства, есть элемент поля K, а тот, который
стоит справа есть нулевой вектор.
Выражение
k
∑
i=1
λ
i
u
i
называется линейной комбинацией векторов
v
1
, . . . , v
k
. Такая линейная комбинация называется тривиальной, если
все коэффициенты λ
i
равны нулю, и нетривиальной, если есть хотя бы
один ненулевой коэффициент. Будем говорить, что вектор v линейно за-
висит от векторов u
1
, . . . , u
k
, если найдутся такие α
1
, . . . , α
k
из поля K,
что v =
k
∑
i=1
α
i
u
i
. Если X — не обязательно конечное подмножество V ,
то будем говорить, что v линейно зависит от X, если v линейно зависит
от некоторого конечного подмножества множества X.
Пусть V — векторное пространство над полем K. Векторное подпро-
странство W пространства V — это подмножество W ⊆ V , обладаю-
щее следующим свойством: α
1
w
1
+ α
2
w
2
∈ W для любых w
1
, w
2
∈ W и
произвольных α
1
, α
2
∈ K. Из этого определения следует, что множество
W само является векторным пространством над полем K с теми же,
что и в V , операциями сложения и умножения на элементы поля.
44
  4. v + (−1)v = 0 для любого вектора v ∈ V . Здесь −1 ∈ K, и элемент
     (−1)v обычно обозначается через −v. В частности, v−u = v+(−1)u.

  5. 1v = v для любого вектора v ∈ V . Здесь 1 ∈ K.

  6. α(v1 + v2 ) = αv1 + αv2 для каждого α ∈ K и любых векторов v1 , v2 ∈
     V.

  7. (αβ)v = α(βv) для любых α, β ∈ K и каждого v ∈ V . Отсюда, в
     частности, следует, что (−α)v = −(αv).

  8. (α + β)v = αv + βv для любых α, β ∈ K и каждого v ∈ V . Отсюда,
     в частности, следует, что 0v = 0, причем тот нуль, который стоит
     слева от знака равенства, есть элемент поля K, а тот, который
     стоит справа есть нулевой вектор.
                  ∑
                  k
   Выражение            λi ui называется линейной комбинацией векторов
                  i=1
v1 , . . . , vk . Такая линейная комбинация называется тривиальной, если
все коэффициенты λi равны нулю, и нетривиальной, если есть хотя бы
один ненулевой коэффициент. Будем говорить, что вектор v линейно за-
висит от векторов u1 , . . . , uk , если найдутся такие α1 , . . . , αk из поля K,
        ∑k
что v =    αi ui . Если X — не обязательно конечное подмножество V ,
          i=1
то будем говорить, что v линейно зависит от X, если v линейно зависит
от некоторого конечного подмножества множества X.
   Пусть V — векторное пространство над полем K. Векторное подпро-
странство W пространства V — это подмножество W ⊆ V , обладаю-
щее следующим свойством: α1 w1 + α2 w2 ∈ W для любых w1 , w2 ∈ W и
произвольных α1 , α2 ∈ K. Из этого определения следует, что множество
W само является векторным пространством над полем K с теми же,
что и в V , операциями сложения и умножения на элементы поля.



                                       44

Страницы