Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 43 стр.

        ГЛАВА III. ПРИЛОЖЕНИЯ. СПРАВОЧНАЯ
                           ИНФОРМАЦИЯ

  В этой главе собраны некоторые сведения, которые могут понадо-
биться для понимания материала предшествующих глав (а также ма-
териала последующих выпусков данного учебного пособия). В основном
речь идет о материале, который должен быть известен по первому се-
местру. В некоторых случаях, однако, приводятся подробности, которые
могли не встретиться в лекционном курсе первого семестра. Разумеет-
ся, эти сведения не используются в основном материале нашего курса,
и приведены только для “полноты картины”. Доказательства большей
частью отсутствуют. Исключение сделано лишь для нескольких исклю-
чительно важных для нашго курса утверждений, касающихся линйной
независимости и разложения в прямую сумму.


                   3.1. Векторные пространства

  Предположим, что нам известно определение поля (оно напоминается
в третьем параграфе этого Приложения). Пусть K — некоторое поле.
Векторным пространством над полем K называется множество V , для
элементов которого (векторов) определены операции сложения v+u ∈ V
и умножения слева на элементы поля (скаляры): если α ∈ K, v ∈ V , то
αv ∈ V . Должен существовать также особый нулевой вектор 0 ∈ V
(не путать с нулем — элементом поля). Требуется, чтобы выполнялись
следующие условия (аксиомы векторного пространства):

 1. v1 + v2 = v2 + v1 для любых векторов v1 , v2 ∈ V ;

 2. (v1 + v2 ) + v3 = v1 + (v2 + v3 ) для любых векторов v1 , v2 , v3 ∈ V ;

 3. v + 0 = 0 + v = v для любго вектора v ∈ V ;

                                     43