Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Пусть X — подмножество векторного пространства V . Линейной
оболочкой X, или подпространством, порожденным множеством X
(обозначение — ⟨X⟩) называется множество всех линейных комбинаций
элементов X с коэффициентами из K:
⟨X⟩ = {
∑
x∈X
r
x
x | r
x
∈ K, почти все r
x
= 0 }
В случае, если X конечно, например, если X = {u
1
, . . . , u
k
}, то
⟨u
1
, . . . , u
k
⟩ = {
k
∑
i=1
λ
i
u
i
|λ
i
∈ K, 1 ≤ i ≤ k}
Говорят, что множество X, X ⊆ V , порождает векторное пространст-
во V (или что X есть множество образующих для V ), если V = ⟨X⟩.
В случае произвольного X линейная оболочка ⟨X⟩ является векторным
подпространством пространства V . Множество W ⊆ V является под-
пространством V тогда и только тогда, если W = ⟨W ⟩. Операция взя-
тия линейной оболочки обладает следующими свойствами:
1. X ⊆ ⟨X⟩;
2. X ⊆ Y =⇒ ⟨X⟩ ⊆ ⟨Y ⟩;
3. ⟨⟨X⟩⟩ = ⟨X⟩;
4. Если v ∈ ⟨X⟩, то найдется конечное подмножество {u
1
, . . . , u
k
} ⊆ X
такое, что v ∈ ⟨u
1
, . . . , u
k
⟩;
5. Если v ∈ ⟨X ∪ {u}⟩, и v ̸∈ ⟨X⟩, то u ∈ ⟨X ∪ {v}⟩;
6. Если v
1
, . . . , v
m
— векторы пространства V , и α
1
, . . . , α
m
— ненуле-
вые элементы поля (скаляры), то ⟨v
1
, . . . , v
m
⟩ = ⟨α
1
v
1
, . . . , α
m
v
m
⟩.
Отметим еще, что ⟨∅⟩ = {0} (это можно даже принять за определе-
ние линейной оболочки пустого множества), ⟨0⟩ = {0}, ⟨v⟩ = {αv|α ∈
K}.
45
  Пусть X — подмножество векторного пространства V . Линейной
оболочкой X, или подпространством, порожденным множеством X
(обозначение — ⟨X⟩) называется множество всех линейных комбинаций
элементов X с коэффициентами из K:
                    ∑
            ⟨X⟩ = {    rx x | rx ∈ K, почти все rx = 0 }
                            x∈X

В случае, если X конечно, например, если X = {u1 , . . . , uk }, то
                                         ∑k
                   ⟨u1 , . . . , uk ⟩ = {   λi ui |λi ∈ K, 1 ≤ i ≤ k}
                                       i=1
Говорят, что множество X, X ⊆ V , порождает векторное пространст-
во V (или что X есть множество образующих для V ), если V = ⟨X⟩.
В случае произвольного X линейная оболочка ⟨X⟩ является векторным
подпространством пространства V . Множество W ⊆ V является под-
пространством V тогда и только тогда, если W = ⟨W ⟩. Операция взя-
тия линейной оболочки обладает следующими свойствами:

  1. X ⊆ ⟨X⟩;

  2. X ⊆ Y =⇒ ⟨X⟩ ⊆ ⟨Y ⟩;

  3. ⟨⟨X⟩⟩ = ⟨X⟩;

  4. Если v ∈ ⟨X⟩, то найдется конечное подмножество {u1 , . . . , uk } ⊆ X
      такое, что v ∈ ⟨u1 , . . . , uk ⟩;

  5. Если v ∈ ⟨X ∪ {u}⟩, и v ̸∈ ⟨X⟩, то u ∈ ⟨X ∪ {v}⟩;

  6. Если v1 , . . . , vm — векторы пространства V , и α1 , . . . , αm — ненуле-
      вые элементы поля (скаляры), то ⟨v1 , . . . , vm ⟩ = ⟨α1 v1 , . . . , αm vm ⟩.

  Отметим еще, что ⟨∅⟩ = {0} (это можно даже принять за определе-
ние линейной оболочки пустого множества), ⟨0⟩ = {0}, ⟨v⟩ = {αv|α ∈
K}.

                                             45

Страницы