Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

но его подмножество — само X.
Лемма 3.1.1. Эквивалентны следующие условия:
1) Множество векторов u
1
, . . . , u
k
линейно независимо;
2) Для каждого вектора v ∈ ⟨u
1
, . . . , u
k
⟩, если v =
k
i=1
α
i
u
i
, то ко-
эффициенты α
i
определяются однозначно. Иными словами, если
есть другая запись, v =
k
i=1
β
i
u
i
, то α
i
= β
i
для всех i.
Доказательство. Будем рассуждать от противного.
1) ⇒ 2). Допустим, что векторы u
1
, . . . , u
k
линейно независимы, но
для какого-то вектора v существуют два способа записи: v =
k
i=1
α
i
u
i
,
v =
k
i=1
β
i
u
i
, причем α
j
̸= β
j
для некоторого j. Вычтем из первого ра-
венства второе, и получим:
k
i=1
α
i
u
i
−
k
i=1
β
i
u
i
=
k
i=1
(α
i
− β
i
)u
i
= v − v = 0.
Но если α
j
̸= β
j
, то α
j
− β
j
̸= 0, а это означает, что мы получили не-
тривиальную линейную комбинацию векторов u
1
, . . . , u
k
, равную нулю,
что противоречит линейной независимости этих векторов.
2) ⇒ 1). Допустим, что u
1
, . . . , u
k
линейно зависимы. Это значит, что
существует нетривиальная линйная комбинация этих векторов, равная
нулю:
k
i=1
α
i
u
i
= 0. Нетривиальность означает, что α
j
̸= 0 для какого-то
j, 1 ≤ j ≤ k. Однако мы всегда можем представить нулевой вектор в
виде линейной комбинации векторов u
1
, . . . , u
k
с нулевыми коэффициен-
тами: 0·u
1
+· · ·+0·u
k
= 0. Но тогда, согласно условию 2), примененного
к вектору v = 0, должны выполняться равенства α
i
= 0 для всех i, в
том числе и для i = j. Получено противоречие.
Аналогичное утверждение справедливо также для бесконечных ли-
нейно независимых множеств. Доказательство остается практически
47
но его подмножество — само X.

Лемма 3.1.1. Эквивалентны следующие условия:

 1) Множество векторов u1 , . . . , uk линейно независимо;
                                                                           ∑
                                                                           k
 2) Для каждого вектора v ∈ ⟨u1 , . . . , uk ⟩, если v =                        αi ui , то ко-
                                                                          i=1
      эффициенты αi определяются однозначно. Иными словами, если
                              ∑
                              k
      есть другая запись, v =   βi ui , то αi = βi для всех i.
                                         i=1
  Доказательство. Будем рассуждать от противного.
  1) ⇒ 2). Допустим, что векторы u1 , . . . , uk линейно независимы, но
                                                                ∑k
для какого-то вектора v существуют два способа записи: v =         αi ui ,
                                                                                     i=1
      ∑
      k
v =         βi ui , причем αj ̸= βj для некоторого j. Вычтем из первого ра-
      i=1
венства второе, и получим:
                ∑
                k               ∑
                                k               ∑
                                                k
                      αi ui −         βi ui =         (αi − βi )ui = v − v = 0.
                i=1             i=1             i=1

Но если αj ̸= βj , то αj − βj ̸= 0, а это означает, что мы получили не-
тривиальную линейную комбинацию векторов u1 , . . . , uk , равную нулю,
что противоречит линейной независимости этих векторов.
  2) ⇒ 1). Допустим, что u1 , . . . , uk линейно зависимы. Это значит, что
существует нетривиальная линйная комбинация этих векторов, равная
      ∑
      k
нулю:   αi ui = 0. Нетривиальность означает, что αj ̸= 0 для какого-то
        i=1
j, 1 ≤ j ≤ k. Однако мы всегда можем представить нулевой вектор в
виде линейной комбинации векторов u1 , . . . , uk с нулевыми коэффициен-
тами: 0·u1 +· · ·+0·uk = 0. Но тогда, согласно условию 2), примененного
к вектору v = 0, должны выполняться равенства αi = 0 для всех i, в
том числе и для i = j. Получено противоречие.
  Аналогичное утверждение справедливо также для бесконечных ли-
нейно независимых множеств. Доказательство остается практически

                                                 47

Страницы