Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 49 стр.

образующих), а во-вторых, линейно независимо.
  На языке линейных оболочек это можно выразить так: V = ⟨X⟩, и
v ̸∈ ⟨X \ {v}⟩ для каждого v ∈ X.
  В случае конечного базиса X = {u1 , . . . , un } (если такой существует),
определение базиса означает, что, во-первых, любой вектор v ∈ V можно
представить в виде линейной комбинации
                                    ∑
                                    n
                              v=          αi ui                     (3.1.1)
                                    i=1

а во-вторых, векторы u1 , . . . , un линейно независимы. По лемме 3.1.1
это равносильно тому, что каждый вектор v записывается в виде (3.1.1)
единственным способом.
  Таким образом, по вектору v однозначно определяется упорядочен-
ный набор элементов поля (α1 , . . . , αn ). Элементы αi называются коор-
динатами вектора v в базисе (или относительно базиса) u1 , . . . , un . С
другой стороны, если взять какой угодно упорядоченный набор элемен-
тов поля (α1 , . . . , αn ), то по нему, используя имеющийся базис, можно
построить вектор v по формуле (3.1.1). Все это означает, что справед-
ливо следующий важный факт:

Теорема 3.1.1. По заданном (конечному) базису u1 , . . . , un вектор-
ного пространства V можно построить взаимно-однозначное соот-
ветствие между V и множеством K n упорядоченных наборов из n
элеменотов поля K.

  Базис произвольного (не обязательно конечномерного) пространства
V можно охарактеризовать еще следующим образом:

Теорема 3.1.2. Эквивалентны следующие утверждения:

 1) Множество X ⊂ V является базисом векторного пространства
    V;

                                    49