Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 50 стр.

 2) Множество X ⊂ V является линейно независимым, но если доба-
      вить к нему хотя бы еще один элемент, то оно перестанет быть
      линейно зависимым (это еще выражают так: X — максимальное
      линейно независимое подмножество V );

 3) Множество X ⊂ V порождает пространство V (т.е. V = ⟨X⟩),
      но если удалить из него хотя бы один любой элемент, то оно
      перестанет обладать этим свойством (более короткая форму-
      лировка: X — минимальное порождающее подмножество V );

     Отметим также одно простое свойство, которое, однако, часто быва-
ет необходимо использовать:ъ

Лемма 3.1.2. Если v1 , . . . , vm — базис пространства V , и α1 , . . . , αm
— ненулевые элементы поля (скаляры), то α1 v1 , . . . , αm vm — также
базис V .

     Следующая теорема справедлива для произвольных векторных про-
странств (не обязательно конечномерных) над любыми полями, так что
множества X, Y , Z из ее формулировки могут иметь любую мощность.

Теорема 3.1.3. Пусть V есть векторное пространство над полем
K.

(1) Если в V существует базис X, то любой другой базис Y имеет
      ту же мощность, что и X. В частности, если существует ко-
      нечный базис из n элементов, то все базисы содержат ровно n
      элементов.

(2) Если дано линейно независимое подмножество X ⊂ V (возмож-
      но, даже пустое), и любое порождающее V множество Y (т.е.
      ⟨Y ⟩ = V , так что не исключен и случай Y = V ), то существует


                                     50