Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 51 стр.

    подмножество Z ⊆ Y , такое, что X ∩ Z = ∅, и X ∪ Z есть базис
    V.

(3) В частности, полагая X пустым, получим, что из любого мно-
    жества образующих V всегда можно выбрать базис (т.е. для лю-
    бого Y ⊆ V такого, что ⟨Y ⟩ = V , найдется базис Z ⊂ V . В
    частности, любое векторное пространство над полем обладает
    базисом.

(4) Другой частный случай пункта (2): любое линейно независимое
    подмножество содержится в некотором базисе.

  Согласно первому пункту данной теоремы, мощность базиса не за-
висит от того, какой базис выбран. В случае, если один из базисов про-
странства V конечен, конечен и любой другой базис, и в нем содержится
то же самое количество элементов. Это количество обозначается через
dim(V ) и называется размерностью векторного пространства V . Если
базис бесконечнен, то его мощность не является числом в обычном смыс-
ле этого слова, и мы не будем подробно рассматривать эту ситуацию.
Ограничимся пока лишь тем, что будем говорить в случае необходимос-
ти, что пространство бесконечномерно.
  Сформулируем простейшие свойства размерности.

 1. dim(V ) = 0 ⇔ V = {0};

 2. v ̸= 0 =⇒ dim(⟨v⟩) = 1;

 3. U ⊆ V =⇒ dim(U ) ≤ dim(V );

 4. Если U ⊆ V , и dim(U ) = dim(V ), то U = V .

  Еще раз отметим, что любое линейно независимое подмножество
всегда содержится в некотором базисе векторного пространства. По-

                                  51