Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

этому мощность любого линейно независимого подмножества не пре-
восходит размерности пространства. Если же мощность линейно неза-
висимого подмножества равна размерности всего пространства, то это
подмножество само является базисом пространства.
Важнейшим примером n-мерного векторного пространста является
векторное пространство K
n
, элементами которого (векторами) являют-
ся столбцы высоты n, компонентами которых являются всевозможные
элементы поля K. Операции сложения векторов и умножения вектора
на скаляр (элемент поля) на K
n
— это частные случаи сложения мат-
риц и умножения матрицы на скаляр. Будем предполагать известными
все свойства операций с матрицами. Пример базиса в K
n
:
e
1
=
1
0
.
.
.
0
, e
2
=
0
1
.
.
.
0
, . . . , e
n
=
0
0
.
.
.
1
Этот базис частно называют стандартным базисом K
n
, или базисом
из единичных векторов. Если
v =
α
1
α
2
.
.
.
α
n
есть произвольный элемент K
n
, то
v = α
1
e
1
+ · · · + α
n
e
n
.
Легко проверяется, что векторы e
1
, . . . , e
n
линейно независимы. Таким
образом, dim(K
n
) = n.
Пусть U, W — два подпространства векторного пространства V . Тог-
да U ∩ W — также подпространство. Рассмотрим множество U + W =
52
этому мощность любого линейно независимого подмножества не пре-
восходит размерности пространства. Если же мощность линейно неза-
висимого подмножества равна размерности всего пространства, то это
подмножество само является базисом пространства.
  Важнейшим примером n-мерного векторного пространста является
векторное пространство K n , элементами которого (векторами) являют-
ся столбцы высоты n, компонентами которых являются всевозможные
элементы поля K. Операции сложения векторов и умножения вектора
на скаляр (элемент поля) на K n — это частные случаи сложения мат-
риц и умножения матрицы на скаляр. Будем предполагать известными
все свойства операций с матрицами. Пример базиса в K n :
                                                  
                     1            0                    0
                                                  
                   0          1                  0
                                                  
              e1 =  .  , e2 =  .  , . . . , en =  . 
                    ..         ..                 .. 
                                                  
                     0            0                    1
Этот базис частно называют стандартным базисом K n , или базисом
из единичных векторов. Если
                                                
                                           α1
                                                
                                                
                                          α2    
                               v=          ..   
                                            .   
                                                
                                         αn
есть произвольный элемент K n , то

                          v = α1 e1 + · · · + αn en .

Легко проверяется, что векторы e1 , . . . , en линейно независимы. Таким
образом, dim(K n ) = n.
  Пусть U, W — два подпространства векторного пространства V . Тог-
да U ∩ W — также подпространство. Рассмотрим множество U + W =

                                      52

Страницы