Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Пусть U
1
, . . . , U
m
— подпространства некоторого векторного про-
странства V .
Будем говорить, что сумма
m
∑
i=1
U
i
подпространств пространства V
является прямой суммой, если для любого вектора u, представимого в
виде u = u
1
+ · · · + u
m
, где u
1
∈ U
1
, . . . , u
m
∈ U
m
, это представление
определено однозначно. Иными словами, если u = u
1
+ · · · + u
m
и u =
u
′
1
+ · · · + u
′
m
, где u
i
, u
′
i
∈ U
i
для всех i, то u
1
= u
′
1
, . . . , u
m
= u
′
m
.
Лемма 3.1.5. Это условие равносильно тому, что 0 = u
1
+ · · · + u
m
тогда и только тогда, если все u
i
= 0.
Смысл понятия прямой суммы проясняет следующая лемма:
Лемма 3.1.6. Пусть U
1
, . . . , U
m
— подпространства векторного
пространства V . Сумма подпространств U
1
+ · · · + U
m
будет пря-
мой тогда и только тогда, если для каждого набора индексов 1 ≤
i
1
< · · · < i
k
≤ m и любых ненулевых элементов u
1
∈ U
i
1
, . . . , u
k
∈ U
i
k
множество векторов u
1
, . . . , u
k
будет линейно независимым.
Подчеркнем, что выбираются только ненулевые векторы, иначе нель-
зя говорить о линейной независимости. Таким образом, понятие прямой
суммы выражает интуитивное представление о “линейно независимых”
подпространствах.
Прямая сумма обозначается следующим образом: U
1
⊕ · · · ⊕ U
m
или
m
⊕
i=1
U
i
.
Пусть W
1
, . . . , W
m
— подпространства некоторого векторного про-
странства W . Тогда определено подпространство W
1
+· · ·+W
m
=
m
∑
i=1
W
i
,
состоящее из всевозможных сумм w
1
+ · · · + w
m
, в которых w
i
∈ W
i
для
каждого i. Это подпространство называется суммой подпространств
W
1
, . . . , W
m
. Заметим, что для каждого j имеет место включение W
j
⊆
54
      Пусть U1 , . . . , Um — подпространства некоторого векторного про-
странства V .
                                        ∑
                                        m
      Будем говорить, что сумма               Ui подпространств пространства V
                                        i=1
является прямой суммой, если для любого вектора u, представимого в
виде u = u1 + · · · + um , где u1 ∈ U1 , . . . , um ∈ Um , это представление
определено однозначно. Иными словами, если u = u1 + · · · + um и u =
u′1 + · · · + u′m , где ui , u′i ∈ Ui для всех i, то u1 = u′1 , . . . , um = u′m .

Лемма 3.1.5. Это условие равносильно тому, что 0 = u1 + · · · + um
тогда и только тогда, если все ui = 0.

      Смысл понятия прямой суммы проясняет следующая лемма:

Лемма 3.1.6. Пусть U1 , . . . , Um — подпространства векторного
пространства V . Сумма подпространств U1 + · · · + Um будет пря-
мой тогда и только тогда, если для каждого набора индексов 1 ≤
i1 < · · · < ik ≤ m и любых ненулевых элементов u1 ∈ Ui1 , . . . , uk ∈ Uik
множество векторов u1 , . . . , uk будет линейно независимым.

      Подчеркнем, что выбираются только ненулевые векторы, иначе нель-
зя говорить о линейной независимости. Таким образом, понятие прямой
суммы выражает интуитивное представление о “линейно независимых”
подпространствах.
      Прямая сумма обозначается следующим образом: U1 ⊕ · · · ⊕ Um или
m
⊕ Ui .
i=1
  Пусть W1 , . . . , Wm — подпространства некоторого векторного про-
                                                              ∑
                                                              m
странства W . Тогда определено подпространство W1 +· · ·+Wm =    Wi ,
                                                                                     i=1
состоящее из всевозможных сумм w1 + · · · + wm , в которых wi ∈                      Wi    для
каждого i. Это подпространство называется суммой подпространств
W1 , . . . , Wm . Заметим, что для каждого j имеет место включение Wj ⊆


                                              54

Страницы