Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

{u + w|u ∈ U, w ∈ W }. Легко уб едиться, что и это множество будет под-
пространством V . Оно называется суммой подпространств U и W . Все
это можно обобщить на случай любого конечного количества слагаемых
(можно и на бесконечный случай, но мы его не будем рассматривать).
Пусть U
1
, . . . , U
m
— подпространства векторного пространства V . На-
зовем суммой этих подпространств множество
{u
1
+ · · · + u
m
|u
1
∈ U
1
, . . . , u
m
∈ U
m
} (3.1.2)
Обозначим это множество через U
1
+ · · · + U
m
или через
m
i=1
U
i
.
Лемма 3.1.3. Множества U
1
∩ · · · ∩ U
m
и U
1
+ · · · + U
m
являются под-
пространствами векторного пространства V .
Для каждого j имеет место включение
U
j
⊆
m
i=1
U
i
.
Это следует из того, что каждый вектор u ∈ U
j
можно формально пред-
ставить в виде суммы m слагаемых: u = 0 + · · · + 0 + u + 0 + · · · + 0, в
которой сам u располагается на j-м месте, а на каждом другом i-м месте
(i ̸= j) расположен нулевой вектор, прина длежащий подпространству
U
i
.
Лемма 3.1.4. Пусть X
1
, . . . , X
k
— подмножества произвольного
векторного пространства V . Тогда
⟨X
1
⟩ + · · · + ⟨X
k
⟩ = ⟨X
1
∪ · · · ∪ X
k
⟩ (3.1.3)
Теорема 3.1.4. Пусть даны два конечномерных подпространства U
1
и U
2
векторного пространства V . Тогда
dim(U
1
) + dim(U
2
) = dim(U
1
+ U
2
) + dim(U
1
∩ U
2
) (3.1.4)
53
{u + w|u ∈ U, w ∈ W }. Легко убедиться, что и это множество будет под-
пространством V . Оно называется суммой подпространств U и W . Все
это можно обобщить на случай любого конечного количества слагаемых
(можно и на бесконечный случай, но мы его не будем рассматривать).
Пусть U1 , . . . , Um — подпространства векторного пространства V . На-
зовем суммой этих подпространств множество

                    {u1 + · · · + um |u1 ∈ U1 , . . . , um ∈ Um }                (3.1.2)
                                                                    ∑
                                                                    m
Обозначим это множество через U1 + · · · + Um или через                   Ui .
                                                                    i=1

Лемма 3.1.3. Множества U1 ∩ · · · ∩ Um и U1 + · · · + Um являются под-
пространствами векторного пространства V .

       Для каждого j имеет место включение
                                          ∑
                                          m
                                   Uj ⊆         Ui .
                                          i=1

Это следует из того, что каждый вектор u ∈ Uj можно формально пред-
ставить в виде суммы m слагаемых: u = 0 + · · · + 0 + u + 0 + · · · + 0, в
которой сам u располагается на j-м месте, а на каждом другом i-м месте
(i ̸= j) расположен нулевой вектор, принадлежащий подпространству
Ui .

Лемма 3.1.4. Пусть X1 , . . . , Xk — подмножества произвольного
векторного пространства V . Тогда

                     ⟨X1 ⟩ + · · · + ⟨Xk ⟩ = ⟨X1 ∪ · · · ∪ Xk ⟩                  (3.1.3)

Теорема 3.1.4. Пусть даны два конечномерных подпространства U1
и U2 векторного пространства V . Тогда

           dim(U1 ) + dim(U2 ) = dim(U1 + U2 ) + dim(U1 ∩ U2 )                   (3.1.4)

                                          53

Страницы