Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

m
∑
i=1
W
i
. Это следует из того, что каждый вектор w ∈ W
j
можно формаль-
но представить в виде суммы m слагаемых: w = 0+· · ·+0+w+0+· · ·+0,
в которой сам w располагается на j-м месте, а на каждом другом i-м
месте (i ̸= j) расположен нулевой вектор, который, разумеется, принад-
лежит подпространству W
i
.
Будем говорить, что сумма
m
∑
i=1
W
i
подпространств является прямой
суммой, если для любого вектора w, представимого в виде w = w
1
+
· · · + w
m
, где w
1
∈ W
1
, . . . , w
m
∈ W
m
, это представление определено
однозначно. Иными словами, если w = w
′
1
+· · ·+w
′
m
и w = w
′′
1
+· · ·+w
′′
m
,
где w
′
i
, w
′′
i
∈ W
i
для всех i, то w
′
1
= w
′′
1
, . . . , w
′
m
= w
′′
m
.
Это условие равносильно тому, что 0 = w
1
+ · · · + w
m
тогда и только
тогда, если все w
i
= 0. В самом деле, если для каждого w ∈ W
1
+· · ·+W
m
представление его в виде w = w
1
+ · · · + w
m
является единственным, то
оно является единственным и для нулевого вектора. Но для нулевого
вектора одно такое представление мы знаем: 0 = 0 + · · · + 0, где стоя-
щий в сумме на j-м месте нуль понимается как нулевой вектор подпро-
странства W
j
(на самом деле, конечно, все это один и тот же нулевой
вектор пространста V ). Тогда, если имеется еще какое-либо выражение
0 = w
1
+ · · · + w
m
, где w
j
∈ W
j
для каждого j, то из единственности
следует, что для каждого j имеется равенство w
j
= 0.
Обратно, если запись 0 = w
1
+ · · · + w
m
возможна только когда все
w
j
= 0, то из w = w
′
1
+ · · · + w
′
m
и w = w
′′
1
+ · · · + w
′′
m
следует 0 = w − w =
(w
′
1
− w
′′
1
) + · · · + (w
′
m
− w
′′
m
), и так как w
′
i
− w
′′
i
∈ W
i
для всех i, то
w
′
i
− w
′′
i
= 0, то есть w
′
i
= w
′′
i
, и это значит, что любой вектор из
m
∑
i=1
W
i
можно представить в виде w
1
+ · · · + w
m
одним единственным способом.
Прямая сумма обозначается следующим образом: W
1
⊕ · · · ⊕ W
m
или
m
⊕
i=1
W
i
.
Для работы с прямыми суммами очень полезно следующее утверж-
55
∑
m
      Wi . Это следует из того, что каждый вектор w ∈ Wj можно формаль-
i=1
но представить в виде суммы m слагаемых: w = 0+· · ·+0+w+0+· · ·+0,
в которой сам w располагается на j-м месте, а на каждом другом i-м
месте (i ̸= j) расположен нулевой вектор, который, разумеется, принад-
лежит подпространству Wi .
                                       ∑
                                       m
      Будем говорить, что сумма             Wi подпространств является прямой
                                      i=1
суммой, если для любого вектора w, представимого в виде w = w1 +
· · · + wm , где w1 ∈ W1 , . . . , wm ∈ Wm , это представление определено
однозначно. Иными словами, если w = w1′ + · · · + wm
                                                   ′
                                                     и w = w1′′ + · · · + wm
                                                                           ′′
                                                                              ,
где wi′ , wi′′ ∈ Wi для всех i, то w1′ = w1′′ , . . . , wm
                                                         ′    ′′
                                                           = wm  .
      Это условие равносильно тому, что 0 = w1 + · · · + wm тогда и только
тогда, если все wi = 0. В самом деле, если для каждого w ∈ W1 +· · ·+Wm
представление его в виде w = w1 + · · · + wm является единственным, то
оно является единственным и для нулевого вектора. Но для нулевого
вектора одно такое представление мы знаем: 0 = 0 + · · · + 0, где стоя-
щий в сумме на j-м месте нуль понимается как нулевой вектор подпро-
странства Wj (на самом деле, конечно, все это один и тот же нулевой
вектор пространста V ). Тогда, если имеется еще какое-либо выражение
0 = w1 + · · · + wm , где wj ∈ Wj для каждого j, то из единственности
следует, что для каждого j имеется равенство wj = 0.
      Обратно, если запись 0 = w1 + · · · + wm возможна только когда все
wj = 0, то из w = w1′ + · · · + wm
                                 ′
                                   и w = w1′′ + · · · + wm
                                                         ′′
                                                            следует 0 = w − w =
(w1′ − w1′′ ) + · · · + (wm
                          ′    ′′
                            − wm  ), и так как wi′ − wi′′ ∈ Wi для всех i, то
                                                                       ∑
                                                                       m
wi′ − wi′′ = 0, то есть wi′ = wi′′ , и это значит, что любой вектор из     Wi
                                                                        i=1
можно представить в виде w1 + · · · + wm одним единственным способом.
      Прямая сумма обозначается следующим образом: W1 ⊕ · · · ⊕ Wm или
m
⊕ Wi .
i=1
      Для работы с прямыми суммами очень полезно следующее утверж-

                                            55

Страницы