Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

должен быть равен нулю:
k
i
j=1
α
i,j
w
i,j
= 0.
Но по условию, входящие в эту линейную комбинацию векторы w
i,j
ли-
нейно независимы (ибо это базис в W
i
). Отсюда следует, что α
i,j
= 0
для всех возможных i и j.
Обратно, пусть {w
i,j
|1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ k
i
} — базис в W , и W
i
для каждого i есть линейная оболочка множества векторов {w
i,j
|1 ≤
j ≤ k
i
}. Заметим, что так как это множество линейно независимо (как
подмножество базиса), то оно будет базисом W
i
. Каждый вектор w ∈ W
можно выразить как линейную комбинацию элементов базиса:
w =
m
i=1
k
i
j=1
α
i,j
w
i,j
.
Так как суммы w
i
=
k
i
j=1
α
i,j
w
i,j
принадлежат подпространствам W
i
по
самому определению этих подпространств, то мы получаем запись:
w = w + · · · + w
m
,
откуда следует, что W = W
1
+· · ·+W
m
. Осталось убедиться, что сумма
прямая. Пусть w
1
+ · · · + w
m
= 0. Записывая w
i
в виде w
i
=
k
i
j=1
α
i,j
w
i,j
,
преобразуем сумму w + · · · + w
m
в выражение
m
i=1
k
i
j=1
α
i,j
w
i,j
. Эта ли-
нейная комбинация по предположению равна нулю, но так как в ней
участвуют (без повторений) векторы базиса W , то все коэффициенты
α
i,j
должны быть нулями. Но тогда и w
i
= 0 для каждого i.
Следствие 3.1.1.
dim(U
1
⊕ · · · ⊕ U
m
) = dim(U
1
) + · · · + dim(U
m
).
57
должен быть равен нулю:
                               ∑
                               ki
                                      αi,j wi,j = 0.
                                j=1

Но по условию, входящие в эту линейную комбинацию векторы wi,j ли-
нейно независимы (ибо это базис в Wi ). Отсюда следует, что αi,j = 0
для всех возможных i и j.
  Обратно, пусть {wi,j |1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ ki } — базис в W , и Wi
для каждого i есть линейная оболочка множества векторов {wi,j |1 ≤
j ≤ ki }. Заметим, что так как это множество линейно независимо (как
подмножество базиса), то оно будет базисом Wi . Каждый вектор w ∈ W
можно выразить как линейную комбинацию элементов базиса:
                                  ∑
                                  m ∑
                                    ki
                             w=               αi,j wi,j .
                                  i=1 j=1

                       ∑
                       ki
Так как суммы wi =           αi,j wi,j принадлежат подпространствам Wi по
                       j=1
самому определению этих подпространств, то мы получаем запись:

                              w = w + · · · + wm ,

откуда следует, что W = W1 +· · ·+ Wm . Осталось убедиться, что сумма
                                                            ∑
                                                            ki
прямая. Пусть w1 + · · · + wm = 0. Записывая wi в виде wi =    αi,j wi,j ,
                                                                            j=1
                                                            ∑
                                                            m ∑
                                                              ki
преобразуем сумму w + · · · + wm в выражение                          αi,j wi,j . Эта ли-
                                                            i=1 j=1
нейная комбинация по предположению равна нулю, но так как в ней
участвуют (без повторений) векторы базиса W , то все коэффициенты
αi,j должны быть нулями. Но тогда и wi = 0 для каждого i.

Следствие 3.1.1.

             dim(U1 ⊕ · · · ⊕ Um ) = dim(U1 ) + · · · + dim(Um ).

                                         57

Страницы