Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 59 стр.

рассматривать как векторы из m-мерного пространства над полем K.
Ранг множества строк матрицы A временно назовем рангом A по стро-
кам. По предыдущей лемме ранг по строкам равен количеству строк
в максимальном линейно независимом подмножестве строк матрицы
A. Аналогично можно определить ранг по столбцам матрицы A как
ранг множества векторов-столбцов этой матрицы (векторов простран-
ства K n ). Он равен максимальному количеству линейно независимых
столбцов A. Таким образом, ранги по строкам и по столбцам определя-
ются как размерности двух различных подпространств в двух разных
векторных пространствах. Тем не менее справедлива следующая важ-
ная теорема:

Теорема 3.1.7. Ранг матрицы по строкам равен ее рангу по столб-
цам.

  Число, равное рангу по строкам и рангу по столбцам матрицы A,
разывается рангом этой матрицы, и обозначается через rk(A). Встреча-
ется также обозначение rank(A).
  Механизм возможного доказательства предыдущей теоремы объяс-
няетcz следующим фактом.

Теорема 3.1.8. Пусть A1 , . . . , Ak — векторы-столбцы из простран-
ства K n . Составим из них блочную n × k-матрицу A = (A1 , . . . , Ak ).
Векторы A1 , . . . , Ak будут линейно независимыми в том и только в
том случае, если в матрице A найдется минор порядка k, не равный
нулю. Это также равносильно тому, что ранг матрицы A равен k.
  Аналогичное утверждение справедливо для линейно независимых
векторов-строк.

Следствие 3.1.3. Ранг матрицы A равен наибольшему среди поряд-
ков отличных от нуля миноров этой матрицы.

                                   59