Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Напомним, что базис пространства решений однородной системы
линейных уравнений называется фундаментальной системой решений
данной системы линейных уравнений.
Сформулируем, наконец, следующий алгоритм нахождения базиса пе-
ресечения двух конечномерных подпространств векторного пространст-
ва:
Теорема 3.1.11. Пусть U, W ⊆ V — подпространства векторного
пространства V над K. Пусть u
1
, . . . , u
n
— базис U, w
1
, . . . , w
m
—
базис W , и пусть u
1
, . . . , u
n
, w
1
, . . . , w
k
— базис подпространства U +
W . Выразим элементы w
k+1
, . . . , w
m
через этот базис:
w
k+s
=
n
i=1
a
i,k+s
u
i
+
k
j=1
b
j,k+s
w
j
, s = 1, . . . , m − k.
Тогда элементы v
s
=
n
i=1
a
i,k+s
u
i
, s = 1, . . . , m − k, образуют базис
U ∩ W.
3.2. Группы
Группой называется множество G, на котором определена бинарная
операция (умножение):
G × G −→ G, (g
1
, g
2
) 7→ g
1
g
2
,
такая, что выполняются следующие свойства:
1) (асоциативность) (g
1
g
2
)g
3
= g
1
(g
2
g
3
) для любых g
1
, g
2
, g
3
∈ G;
2) существует e ∈ G, такой, что для всех g ∈ G имеют место равен-
ства: ge = eg = e;
61
   Напомним, что базис пространства решений однородной системы
линейных уравнений называется фундаментальной системой решений
данной системы линейных уравнений.
   Сформулируем, наконец, следующий алгоритм нахождения базиса пе-
ресечения двух конечномерных подпространств векторного пространст-
ва:

Теорема 3.1.11. Пусть U, W ⊆ V — подпространства векторного
пространства V над K. Пусть u1 , . . . , un — базис U , w1 , . . . , wm —
базис W , и пусть u1 , . . . , un , w1 , . . . , wk — базис подпространства U +
W . Выразим элементы wk+1 , . . . , wm через этот базис:
                    ∑
                    n                   ∑
                                        k
           wk+s =         ai,k+s ui +         bj,k+s wj ,   s = 1, . . . , m − k.
                    i=1                 j=1

                             ∑
                             n
Тогда элементы vs =                ai,k+s ui , s = 1, . . . , m − k, образуют базис
                             i=1
U ∩ W.




                                    3.2. Группы

   Группой называется множество G, на котором определена бинарная
операция (умножение):

                          G × G −→ G,           (g1 , g2 ) 7→ g1 g2 ,

такая, что выполняются следующие свойства:

 1) (асоциативность) (g1 g2 )g3 = g1 (g2 g3 ) для любых g1 , g2 , g3 ∈ G;

 2) существует e ∈ G, такой, что для всех g ∈ G имеют место равен-
      ства: ge = eg = e;

                                              61

Страницы