Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 3.1.9. Ранг матрицы не изменится, если со строками или
столбцами этой матрицы провести элементарные преобразования.
Довольно часто бывает нужно найти не только ранг матрицы, но
и некоторый максимальный линейно независимый набор столбцов (или
строк) этой матрицы. В этом случае помогает следующий факт.
Лемма 3.1.8. Пусть A есть n × m-матрица, и ее столбцы с номера-
ми j
1
, . . . , j
k
линейно независимы. Тогда любая совокупность элемен-
тарных преобразований со строками этой матрицы дает матрицу,
в которой столбцы с теми же номерами j
1
, . . . , j
k
остаются линейно
независимыми.
Аналогично и для строк: если в A строки с номерами i
1
, . . . , i
k
были
линейно независимыми, то после любого набора элементарных преоб-
разований со столбцами матрицы мы получим матрицу, в которой
строки с теми же номерами i
1
, . . . , i
k
будут линейно независимыми.
Напомним еще одну из основных теорем из теории линейных урав-
нений. Пусть A есть n × m-матрица. Рассмотрим систему однородных
линейных уравнений:
Ax = 0
В более подробной записи это выглядит так:
a
1,1
x
1
+ a
1,2
x
2
+ · · · + a
1,m
x
m
= 0
a
2,1
x
1
+ a
2,2
x
2
+ · · · + a
2,m
x
m
= 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n,1
x
1
+ a
n,2
x
2
+ · · · + a
n,m
x
m
= 0
Теорема 3.1.10. Множество решений однородной системы линей-
ных уравнений является векторным подпространством пространст-
ва K
m
. Размерность этого подпространства равна m − rk(A) (коли-
чество переменных минус ранг матрицы системы).
60
Теорема 3.1.9. Ранг матрицы не изменится, если со строками или
столбцами этой матрицы провести элементарные преобразования.

   Довольно часто бывает нужно найти не только ранг матрицы, но
и некоторый максимальный линейно независимый набор столбцов (или
строк) этой матрицы. В этом случае помогает следующий факт.

Лемма 3.1.8. Пусть A есть n × m-матрица, и ее столбцы с номера-
ми j1 , . . . , jk линейно независимы. Тогда любая совокупность элемен-
тарных преобразований со строками этой матрицы дает матрицу,
в которой столбцы с теми же номерами j1 , . . . , jk остаются линейно
независимыми.
   Аналогично и для строк: если в A строки с номерами i1 , . . . , ik были
линейно независимыми, то после любого набора элементарных преоб-
разований со столбцами матрицы мы получим матрицу, в которой
строки с теми же номерами i1 , . . . , ik будут линейно независимыми.

   Напомним еще одну из основных теорем из теории линейных урав-
нений. Пусть A есть n × m-матрица. Рассмотрим систему однородных
линейных уравнений:
                                        Ax = 0
В более подробной записи это выглядит так:
              
              
                a1,1 x1 + a1,2 x2 + · · · + a1,m xm       =    0
              
              
              
               a x + a x + ··· + a x
                      2,1 1     2,2 2            2,m m     =    0
                 
                          ..................              ... ...
                 
                 
                 
                    an,1 x1 + an,2 x2 + · · · + an,m xm   =    0
Теорема 3.1.10. Множество решений однородной системы линей-
ных уравнений является векторным подпространством пространст-
ва K m . Размерность этого подпространства равна m − rk(A) (коли-
чество переменных минус ранг матрицы системы).

                                          60

Страницы