Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3) для каждого x ∈ G найдется y ∈ G такой, что xy = yx = e.
Покажем, что элемент y из свойства 3) определяется однозначно. Допус-
тим, что для данного x нашлось два обратных элемента y
1
и y
2
. Тогда
(y
1
x)y
2
= ey
2
= y
2
. Но, с другой стороны, (y
1
x)y
2
= y
1
(xy
2
) = y
1
e = y
1
.
Итак, y
1
= y
2
. Так как обратный к g ∈ G элемент определяется одно-
значно, его обозначают как g
−1
. Свойство единственности g
−1
исполь-
зуется при доказательстве некоторых важных соотношений. Покажем,
например, что в любой группе G для всех x, y ∈ G имеет место равен-
ство:
(xy)
−1
= y
−1
x
−1
Для этого достаточно проверить, что (xy)(y
−1
x
−1
) = (y
−1
x
−1
)(xy) = e,
что не должно вызывать затруднений. Отсюда следует, что элемент
y
−1
x
−1
обладает в точности теми же самыми свойствами, которые ха-
рактеризуют (xy)
−1
. Ввиду единственности обратного элемента заклю-
чаем, что (xy)
−1
= y
−1
x
−1
. Индукцией нетрудно показать, что
(x
1
x
2
. . . x
n
)
−1
= x
−1
n
. . . x
−1
2
x
−1
1
для всех n.
Отметим еще, что (x
−1
)
−1
= x. Это также можно установить, исполь-
зуя свойство единственности обратного элемента. Положим y = x
−1
, и
найдем y
−1
. Для этого достаточно заметить, что равенства xy = yx = e
могут служить не только определением обратного элемента для x, но и
обратного элемента для y, а этим элементом оказывается именно x, и
только он, ввиду единственности обратного для y.
И еще одно (возможно, тривиальное) замечание. Элемент
n
z }| {
xx . . . x
(n-кратное произведение x на x) принято обозначать через x
n
. Будем
считать очевидным, что, ввиду ассоциативности умножения, x
n
x
m
=
62
 3) для каждого x ∈ G найдется y ∈ G такой, что xy = yx = e.
Покажем, что элемент y из свойства 3) определяется однозначно. Допус-
тим, что для данного x нашлось два обратных элемента y1 и y2 . Тогда
(y1 x)y2 = ey2 = y2 . Но, с другой стороны, (y1 x)y2 = y1 (xy2 ) = y1 e = y1 .
Итак, y1 = y2 . Так как обратный к g ∈ G элемент определяется одно-
значно, его обозначают как g −1 . Свойство единственности g −1 исполь-
зуется при доказательстве некоторых важных соотношений. Покажем,
например, что в любой группе G для всех x, y ∈ G имеет место равен-
ство:
                               (xy)−1 = y −1 x−1
Для этого достаточно проверить, что (xy)(y −1 x−1 ) = (y −1 x−1 )(xy) = e,
что не должно вызывать затруднений. Отсюда следует, что элемент
y −1 x−1 обладает в точности теми же самыми свойствами, которые ха-
рактеризуют (xy)−1 . Ввиду единственности обратного элемента заклю-
чаем, что (xy)−1 = y −1 x−1 . Индукцией нетрудно показать, что

                      (x1 x2 . . . xn )−1 = x−1        −1 −1
                                             n . . . x 2 x1

для всех n.
  Отметим еще, что (x−1 )−1 = x. Это также можно установить, исполь-
зуя свойство единственности обратного элемента. Положим y = x−1 , и
найдем y −1 . Для этого достаточно заметить, что равенства xy = yx = e
могут служить не только определением обратного элемента для x, но и
обратного элемента для y, а этим элементом оказывается именно x, и
только он, ввиду единственности обратного для y.
  И еще одно (возможно, тривиальное) замечание. Элемент
                                        n
                                    z }| {
                                    xx . . . x

(n-кратное произведение x на x) принято обозначать через xn . Будем
считать очевидным, что, ввиду ассоциативности умножения, xn xm =

                                       62

Страницы