Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 64 стр.

равен j, i-му элементу A для всех 1 ≤ i, j ≤ n. Одно из свойств опера-
ции транспонирования таково: (AB)т = B т Aт . Кроме того (Aт )т = A.
Это показывает, что операция транспонирования походит на операцию
взятия обратного элемента. Докажем, что

                           (Aт )−1 = (A−1 )т .

Пусть X = Aт . Любая матрица Y , такая, что XY = Y X = En , будет
обратной к X. Покажем, что в качестве Y можно взять (A−1 )т . В самом
деле, используя свойства транспонирования, получим:

               XY = Aт (A−1 )т = (A−1 A)т = Enт = En ,

и точно так же проверяется, что Y X = En . Ввиду единственности об-
ратного элемента в группе требуемое равенство доказано.
  Отметим, что при n = 1 группа GLn (F ) является множеством всех
ненулевых элементов поля F , а операция умножения 1 × 1-матриц сво-
дится к операции умножения элементов поля.
  Гомоморфизм h из группы G1 в группу G2 — это отображение
h : G1 −→ G2 , удовлетворяющее следующим двум свойствам. Во-
первых, для любых x, y ∈ G1 имеет место равенство h(xy) = h(x)h(y).
Во-вторых, нейтральный элемент группы G1 должен отображаться в
нейтральный элемент группы G2 , то есть h(e) = e, или h(1) = 1, если
нейтральные элементы обозначены символом 1.
  Если из контекста не будет ясно, к какой группе принадлежит тот
или иной нейтральный элемент,то надо использовать обозначения вида
eG1 или e1 для нейтрального элемента G1 , и т.п.
  Докажем, что для каждого g ∈ G1 имеет место равенство:

                           h(g −1 ) = h(g)−1 .


                                   64