Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 65 стр.

Положим x = h(g), и пусть y = h(g −1 ). Тогда

                 xy = h(g)h(g −1 ) = h(gg −1 ) = h(e) = e,
                 yx = h(g −1 )h(g) = h(g −1 g) = h(e) = e.

Таким образом, y = x−1 , что и утверждалось.


  Гомоморфизм h называется изоморфизмом, если существует гомо-
морфизм f : G2 −→ G1 , такой, что hf = 1G2 и f h = 1G1 . Здесь через 1G1
и 1G2 обозначаются тождественные отображения G1 и G2 .
  Иными словами, для каждого x ∈ G1 имеет место равенство
f (h(x)) = x, а для каждого y ∈ G2 — равенство h(f (y)) = y.
  Подгруппой G′ группы G называется подмножество G′ ⊆ G, облада-
ющее следующими свойствами:

 1) нейтральный элемент (единица) группы G принадлежит G′ ;

 2) из x, y ∈ G′ следует xy ∈ G′ ;

 3) если x ∈ G′ , то x−1 ∈ G′ .

  Это определение означает, что, если взять ограничение бинарной опе-
рации для G на G′ ×G′ ⊆ G×G, то его можно рассматривать как отобра-
жение в G′ , и относительно этой бинарной операции множество G′ само
становится группой, причем отображение включения G′ ⊆ G оказыва-
ется гомоморфизмом групп. Сама группа G и множество {e} являются
подгруппами G. Эти подгруппы принято называть тривиальными.
  Вот важный пример подгруппы: легко проверить, что множество
SLn (F ) = {A ∈ GLn (F )|det(A) = 1} является подгруппой группы
GLn (F ). SLn (F ) называется специальной линейной группой n-й степени
над полем F .



                                     65