Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 67 стр.

                        3.3. Кольца и поля

  Кольцом называется множество R с двумя бинарными операциями,
сложением и умножением, такими, что относительно сложения R есть
абелева группа, и выполняется свойство дистрибутивности (билиней-
ности) умножения: для всех x, y, z ∈ R

           x(y + z) = xy + xz     ,      (x + y)z = xz + yz .

Кольцо называется ассоциативным, если операция умножения в R
ассоциативна, то есть для всех x, y, z ∈ R имеет место равенство
x(yz) = (xy)z. Кольцо называется коммутативным, если xy = yx
для всех x, y ∈ R. Говорят, что R есть кольцо с единицей, если в нем
есть элемент, обычно обозначаемый как 1, и обладающий свойством:
1 · a = a · 1 = a для каждого a ∈ R. В дальнейшем рассматриваются
только ассоциативные кольца с единицей, называемые просто кольцами.
  Коммутативное кольцо с единицей называется полем, если для каж-
дого ненулевого элемента a ∈ R найдется элемент b ∈ R такой, что
ab = ba = 1. В предыдущем параграфе, где речь шла о группах, было
показано, что такой элемент b определен однозначно (доказательство в
случае элементов, принадлежащих не группе, а полю, остается тем же
самым). Этот элемент называется обратным элементом к элементу a
и обозначается через a−1 . Свойства обратных элементов в полях те же
самые, что и у обратных элементов в группах, но ввиду коммутатив-
ности, например, (ab)−1 = a−1 b−1 . Легко убедиться, что все ненулевые
элементы поля образуют группу по умножению. У нуля нет обратного
элемента, если не считать случая поля из одного элемента, в котором
нуль совпадает с единицей. Однако такое поле мы рассматривать не
будем.
  Пусть R, S — кольца. Гомоморфизмом колец называется отображе-

                                  67