Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 68 стр.

ние f : R −→ S, обладающее следующими свойствами:

                   f (x ± y) = f (x) ± f (y), f (0) = 0,
                      f (xy) = f (x)f (y),    f (1) = 1.

  Напомним некоторые примеры колец и полей.

Пример 3.3.1. Числовые кольца и поля: Z — кольцо целых чисел (оно
не является полем), Q — поле рациональных чисел, R — поле действи-
тельных чисел, C — поле комплексных чисел.

Пример 3.3.2. Множество многочленов от n переменных R[x1 , . . . , xn ]
с коэффициентами из кольца R является кольцом относительно обыч-
ных операций сложения и умножения многочленов. При этом кольцо
коэффициентов R может и не быть коммутативным, но требуется, что-
бы переменные xi коммутировали между собой и со всеми элементами
из R.

Пример 3.3.3. Пусть R — некоторое кольцо. Множество всех квадрат-
ных n × n-матриц с компонентами из R образует кольцо относительно
обычных операций сложения и умножения матриц. Коммутативность R
не обязательна. Кольцо n × n-матриц над R обозначается через Mn (R).
  В теории линейных операторов на векторных пространствах боль-
шую роль играют кольца вида Mn (K[x]), где K[x] — кольцо много-
членов над полем K. Иногда бывает необходимо рассматривать кольцо
многочленов вида Mn (K)[x], т.е. многочлены, коэффициентами которых
являются матрицы n-го порядка над полем K. Можно показать, что
Mn (K[x]) и Mn (K)[x] — это, по сути, одно и то же кольцо.

Пример 3.3.4. В параграфе 1.6 фактически было построено кольцо,
состоящее из всех выражений вида f (A), где A — нкоторый фиксиро-
ванный линейный оператор, а в качестве f (x) берутся всевозможные

                                    68