Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 69 стр.

многочлены из K[x]. Это кольцо можно обозначить по аналогии с коль-
цом многочленов через K[A]. В дальнейшем, когда будет изучено поня-
тие факторкольца по идеалу, станет понятно, что K[A] являтся фактор-
кольцом кольца многочленов по идеалу, порожденному минимальным
многочленом оператора A (точнее, изоморфно этому факторкольцу).

Пример 3.3.5. Рассмотрим множество из двух элементов 0 и 1, и опре-
делим операции сложения и умножения с этими элементами следующим
образом:
  0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0,
  0 · 0 = 0, 1 · 0 = 0 · 1 = 0, 1 · 1 = 1.
  Легко проверяется, что выполнены все свойства поля. Это поле на-
зывается еще полем Галуа из двух элементов и обозначается через F2
или через GF (2).

  Опишем вкратце, как устроены другие конечные поля. Возьмем про-
извольное простое число p и рассмотрим множество {0, 1, . . . , p − 1}, ко-
торое обозначим через Fp или через GF (p). (GF означает “Galois Field”,
т.е. поле Галуа.) Определим на этом множестве новые операции “сло-
жения” и “умножения” следующим образом. Полагаем

            a
b=a+b           (mod p),        ab=a×b   (mod p),

где (mod p) означает взятие остатка от деления на p. Можно показать,
что новые операции определяют на GF (p) структуру поля, в котором
0 и 1 обладают обычными свойствами. Обратный по умножению эле-
мент к элементу a ̸= 0 определяется так. Находится число c такое, что
1 ≤ c ≤ p−1 и ac = 1+pl (это делается с помощью алгоритма Евклида).
Число c и будет обратным к a относительно новой операции умножения.
Заметим, что на практике новые обозначения для введенных выше но-
вых сложения и умножения не используются. Употребляются обычные

                                         69