Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 70 стр.

обозначения a + b и ab, смысл определяется из контекста.
  Таким способом строятся, однако, далеко не все конечные поля. Об-
щий случай выглядит так. Пусть K есть одно из полей GF (p) для неко-
торого простого p, построенное выше. Рассмотрим кольцо многочленов
K[x]. Для многочленов с коэффициентами из конечного поля справедли-
вы многие свойства многочленов с действительными коэффициентами
(и доказательства у них те же самые). В частности, это относится к
свойствам степеней при умножении, к делимости, к наличию алгорит-
ма Евклида, и к однозначности разложения многочлена в произведение
неприводимых многочленов. Выберем в K[x] некоторый неприводимый
многочлен f и пусть n есть его степень. Рассмотрим в K[x], рассматри-
ваемом как векторное пространство над K, векторное подпространство
F , состоящее из всех многочленов, степени которых строго меньше n.
Определим на этом векторном пространстве новую операцию умноже-
ния, полагая произведение двух многочленов u(x) и v(x) равным остатку
от деления обычного произведения u(x)v(x) на неприводимый многочлен
f . Можно показать, что эта операция (вместе с уже определенными в F
сложением и вычитанием) превращает F в поле, содержащее в качестве
подполя поле K. Обратный элемент для v(x) ̸= 0 определяется следу-
ющим образом. Находится многочлен w ∈ K[x] с условием deg(w) < n
и такой, что vw = 1 + f h (это опять делается с помощью алгоритма
Евклида). Многочлен w ∈ F и будет обратным к u относительно новой
операции умножения.
  Легко заметить, что если рассматривать F как векторное про-
странство над K, то в качестве его базиса можно выбрать элементы
1, x, x2 , . . . , xn−1 . Поскольку количество элементов в поле K равно p,
отсюда следует, что количество элементов в поле F равно pn .
  Можно показать, что если мы выберем другой неприводимый много-


                                    70