Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 72 стр.

  Многочлен r(x) называется остатком от деления f на g, а многочлен
h(x) — частным от деления f на g. Если r(x) = 0, то говорят, что f
делится на g без остатка, или просто делится на g. В этом случае
говорят также, что g делит f .
  Отметим одно важное обстоятельство. Если f = hg, то для каждого
ненулевого λ ∈ K имеется также равенство f = (λ−1 h)(λg). Поэтому,
когда рассматривают делимость многочленов, приходится часто пред-
полагать, что делители данного многочлена f определены с точностью
до умножения на ненулевой элемент поля (на скаляр).
  Наибольшим общим делителем семейства многочленов f1 , . . . , fk , ни
один из которых не равен нулю, называется многочлен d(x), обладаю-
щий следующими свойствами: каждый многочлен fi делится на d без
остатка и если какой-то многочлен g делит все многочлены f1 , . . . , fk ,
то он является делителем многочлена d. Обозначение для наибольшего
общего делителя (НОД):

            d = НОД(f1 , . . . , fk ), или d = gcd(f1 , . . . , fk ).

Теорема 3.4.2. Наибольший общий делитель многочленов существу-
ет и определен однозначно с точностью до умножения на ненулевой
элемент поля.

  Многочлены называются взаимно простыми, если их наибольший
общий делитель является ненулевым элементом поля. В этом случае
его можно считать равным единице.

Теорема 3.4.3. (Тождество Безу) Пусть d = НОД(f1 , . . . , fk ). Тогда
найдутся такие многочлены w1 (x), . . . , wk (x), что

                       d = w1 f1 + w2 f2 + · · · + wk fk .

Следствие 3.4.1. Многочлены f1 , . . . , fk являются взаимно просты-
ми в том и только в том случае, если найдутся такие многочлены

                                       72