Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n
1
, . . . , n
m
называются кратностями, с которыми неприводимые мно-
гочлены f
1
, . . . , f
m
входят в разложение f в произведение неприводимых
множителей.
Режде, чем сформулировать критерий для определения кратности
вхождения неприводимого множителя, напомним, что если многочлен f
имеет вид f = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ · · · + a
n
x
n
=
n
∑
j=0
a
j
x
j
, то его производная
— это многочлен f
′
= a
1
+ 2a
2
x + · · · + na
n
x
n−1
=
n
∑
j=1
ja
j
x
j−1
. Вторая
производная f
′′
определяется как (f
′
)
′
, третья f
′′′
— как (f
′′
)
′
, и если
уже определена k-я производная f
(k)
, то k + 1-я производная f
(k+1)
есть
(f
(k)
)
′
.
Лемма 3.4.1. Неприводимый многочлен g(x) входит в разложение
(3.4.1) многочлена f(x) с кратностью, большнй или равной двум,
тогда и только тогда, если g(x) является делителем многочлена
НОД(f, f
′
).
Корень многочлена f(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ · · · + a
n
x
n
∈ K[x] — это
такой элемент α поля K, что выполнено равенство: f(α) = a
0
+ a
1
α +
a
2
α
2
+ · · · + a
n
α
n
= 0.
Лемма 3.4.2. f(α) = 0 ⇐⇒ f(x) = (x − α)g(x).
Если α — корень f(x), и можно представить f в виде
f(x) = (x − α)
k
g(x), причем g(α ) ̸= 0, то говорят, что корень α имеет
кратность k.
Лемма 3.4.3. Корень α многочлена f(x) имет кратность k тогда и
только тогда, если он является также корнем первых k −1 производ-
ных многочлена f:
f(α) = f
′
(α) = f
′′
(α) = · · · f
(k−1)
(α) = 0.
74
n1 , . . . , nm называются кратностями, с которыми неприводимые мно-
гочлены f1 , . . . , fm входят в разложение f в произведение неприводимых
множителей.
    Режде, чем сформулировать критерий для определения кратности
вхождения неприводимого множителя, напомним, что если многочлен f
                                                  ∑
                                                  n
имеет вид f = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn =   aj xj , то его производная
                                                      j=0
                                                                  ∑
                                                                  n
— это многочлен f ′ = a1 + 2a2 x + · · · + nan xn−1 =                    jaj xj−1 . Вторая
                                                                 j=1
производная f ′′ определяется как (f ′ )′ , третья f ′′′ — как (f ′′ )′ , и если
уже определена k-я производная f (k) , то k + 1-я производная f (k+1) есть
(f (k) )′ .

Лемма 3.4.1. Неприводимый многочлен g(x) входит в разложение
(3.4.1) многочлена f (x) с кратностью, большнй или равной двум,
тогда и только тогда, если g(x) является делителем многочлена
НОД(f, f ′ ).

    Корень многочлена f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ∈ K[x] — это
такой элемент α поля K, что выполнено равенство: f (α) = a0 + a1 α +
a2 α2 + · · · + an αn = 0.

Лемма 3.4.2. f (α) = 0 ⇐⇒ f (x) = (x − α)g(x).

    Если α — корень f (x), и можно представить f в виде
f (x) = (x − α)k g(x), причем g(α) ̸= 0, то говорят, что корень α имеет
кратность k.

Лемма 3.4.3. Корень α многочлена f (x) имет кратность k тогда и
только тогда, если он является также корнем первых k − 1 производ-
ных многочлена f :

                   f (α) = f ′ (α) = f ′′ (α) = · · · f (k−1) (α) = 0.

                                           74

Страницы