Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 73 стр.

w1 (x), . . . , wk (x), что

                          w1 f1 + w2 f2 + · · · + wk fk = 1.

   Многочлен f (x) ∈ K[x] называется неприводимым, если f нельзя
представить в виде f = f1 f2 , где deg(f1 ) ≥ 1 и deg(f2 ) ≥ 1. Неприво-
димые многочлены являются аналогами простых чисел в кольце K[x].
Теория делимости в кольце многочленов почти полностью аналогична
теории делимости для целых чисел.
   Заметим, что любой многочлен вида ax + b является неприводимым,
а многочлен вида f (x) = ax2 + bx + c над полем действительных чи-
сел неприводим в том и только в том случае, если его дискриминант
отрицателен: b2 − 4ac < 0. Если при этом a > 0, то f (x) > 0 для всех
действительных x.

Теорема 3.4.4. Каждый отличный от нуля многочлен f из K[x] мо-
жет быть разложен в произведение

                                f = af1n1 f2n2 . . . fm
                                                      nm
                                                                  (3.4.1)

где a ∈ K, a ̸= 0, а f1 , . . . , fm — неприводимые многочлены. При этом
каждый неприводимый многочлен из этого набора определяется одно-
значно с точностью до ненулевого скалярного множителя (элемента
поля), а степени n1 , . . . , nm определены строго однозначно. В случае,
если f есть многочлен со старшим коэффициентом, равным a, мож-
но выбрать все fi так, чтобы их старшие коэффициенты были равны
единице, и тогда представление f в виде (3.4.1) полностью однознач-
но.

   Если дано разложение (3.4.1) многочлена f в произведение неприво-
димых множителей f = af1n1 f2n2 . . . fknk , то положительные целые числа


                                          73