Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Следующая теорема когда-то называлась “основной теоремой алгеб-
ры”.
Теорема 3.4.5. 1) Каждый неприводимый многочлен над полем R
имеет либо степень, равную единице, либо степень, равную двум.
2) Каждый неприводимый многочлен над нолем C имеет степень
единица.
3) У каждого многочлена нечетной степени из R[x] имеется дейст-
вительный корень.
4) Каждый многочлен над полем комплексных чисел, имеющий поло-
жительную степень, имеет корень в поле комплексных чисел.
5) Из этого следует, что каждый многочлен над полем комплексных
чисел можно представить в виде:
f(x) = a(x − α
1
)
k
1
(x − α
2
)
k
2
. . . (x − α
m
)
k
m
.
Здесь deg(f) = k
1
+ · · · + k
m
, α
1
, . . . , α
m
— корни f, a ∈ K — стар-
ший коэффициент f. Представление f в таком виде определено
однозначно.
Поля, для многочленов над которыми справедливы утверждения
пунктов 4) и 5) этой теоремы, называются алгебраически замкнуты-
ми. Поле C алгебраически замкнуто, поле R нет. Из общей теории по-
лей известно, что каждое поле K можно сделать подполем некоторого
алгебраически замкнутого поля.
Так как R ⊂ C, то каждый многочлен с действительными коэффи-
циентами можно считать и многочленом с комплексными коэффициен-
тами. Поэтому у каждого могочлена положительной степени из R[x]
обязательно есть комплексный корень.
75
  Следующая теорема когда-то называлась “основной теоремой алгеб-
ры”.

Теорема 3.4.5.         1) Каждый неприводимый многочлен над полем R
       имеет либо степень, равную единице, либо степень, равную двум.

 2) Каждый неприводимый многочлен над нолем C имеет степень
       единица.

 3) У каждого многочлена нечетной степени из R[x] имеется дейст-
       вительный корень.

 4) Каждый многочлен над полем комплексных чисел, имеющий поло-
       жительную степень, имеет корень в поле комплексных чисел.

 5) Из этого следует, что каждый многочлен над полем комплексных
       чисел можно представить в виде:

                     f (x) = a(x − α1 )k1 (x − α2 )k2 . . . (x − αm )km .

       Здесь deg(f ) = k1 + · · · + km , α1 , . . . , αm — корни f , a ∈ K — стар-
       ший коэффициент f . Представление f в таком виде определено
       однозначно.

  Поля, для многочленов над которыми справедливы утверждения
пунктов 4) и 5) этой теоремы, называются алгебраически замкнуты-
ми. Поле C алгебраически замкнуто, поле R нет. Из общей теории по-
лей известно, что каждое поле K можно сделать подполем некоторого
алгебраически замкнутого поля.
  Так как R ⊂ C, то каждый многочлен с действительными коэффи-
циентами можно считать и многочленом с комплексными коэффициен-
тами. Поэтому у каждого могочлена положительной степени из R[x]
обязательно есть комплексный корень.

                                           75

Страницы