Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 71 стр.

член той же степени n, то построенное с его помощью новое поле будет
изоморфно полю F и как кольцо, и как векторное пространство над K.
Поэтому числа p и n полностью определяют конечное поле (с точностью
до изоморфизма, как это обычно и бывает в математике). Это поле обо-
значается через GF (pn ). При n = 1 (случай неприводимого многочлена
вида x − a) все сводится к уже построенному выше GF (p).
  Можно показать, что описанными выше способами получаются все
конечные поля. Можно также показать, что для любого n ≥ 1 и каждого
простого p всегда существует поле GF (pn ). Таким образом, если где-то
встречается обозначение вида GF (q) или Fq , то это означает, что q = pn ,
где p — простое число.



                          3.4. Многочлены

  Обозначим через K[x] кольцо многочленов (или полиномов) от одной
переменной x над полем K.
  Напомним, что если f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn — многочлен с
коэффициентами из поля K, и an ̸= 0, то число n называется степенью
многочлена f и обозначается через deg(f ). Многочлены степени нуль —
это в точности ненулевые элементы поля K. По определению, степень
нуля равна −∞. С учетом этого справедлив следующий факт:

                       deg(f g) = deg(f ) + deg(g)

для любых многочленов f и g из K[x].

Теорема 3.4.1. (Алгоритм Евклида) Если f (x) и g(x) — два много-
члена над полем K, и g ̸= 0, то найдутся такие многочлены h(x) и
r(x), что f (x) = h(x)g(x) + r(x), причем deg(r) < deg(g). Многочлены
h и r, удовлетворяющие этим условиям, определяются однозначно.

                                    71