Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 66 стр.

  Сформулируем в явном виде аксиомы группы для случая, когда груп-
повая операция записывается как x + y (сложение). Операция сложения
должна удовлетворять следующим свойствам:

 1) (ассоциативность) (g1 +g2 )+g3 = g1 +(g2 +g3 ) для любых g1 , g2 , g3 ∈
    G;

 2) существует элемент 0 ∈ G, такой, что для всех g ∈ G имеют место
    равенства: g + 0 = 0 + g = e;

 3) для каждого x ∈ G найдется y ∈ G такой, что x + y = y + x = 0. В
    аддитивной записи обратный элемент y обозначается как −x, при
    этом используется также обозначение a − b = a + (−b).

  Аддитивная запись групповой операции чаще всего используется для
коммутативных групп, то есть групп, в которых

 4) x + y = y + x для всех x, y ∈ G.

  Такие группы часто называются абелевыми. Простейший пример та-
кой группы — группа E всех целых чисел.
  Гомоморфизм абелевых групп h : G1 −→ G2 должен удовлетворять
свойствам:

 1) h(x + y) = h(x) + h(y) для всех x, y ∈ G1 ;

 2) h(0) = 0.

Отсюда следует, что h(−x) = −h(x).
  Каждое векторное пространство является абелевой группой по сло-
жению. Каждое линейное отображение векторных пространств являет-
ся гомоморфизмом абелевых групп.
  Таким образом, теорию групп можно считать обобщением теории
векторных пространств и линейных отображений.

                                    66