Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
n+m
(в некоторых книгах это равенство доказывается!). Будем также
полагать по определению, что
x
−n
=
n
z }| {
x
−1
x
−1
. . . x
−1
.
Проверьте, что (x
n
)
−1
= x
−n
. Для групп, в которых вместо умножения
пишется сложение, вместо x
−1
надо писать −x, вместо x
n
должно стоять
x + · · · + x = nx, и соответственно вместо x
−n
используется запись −nx.
Следующий пример является одним из центральных во всей теории
групп.
Пусть F — поле. Например, это может быть любое из полей Q (ра-
циональные числа), R (действительные числа), C (комплексные числа).
Обозначим через GL
n
(F ) множество всех невырожденных n ×n-матриц
с компонентами из поля F . Напомним, что матрица A называется не-
вырожденной, если ее определитель det(A) не равен нулю. Это эквива-
лентно существованию обратной к A матрицы, то есть такой матрицы
A
−1
, что
AA
−1
= A
−1
A = E
n
.
Здесь E
n
— единичная n × n-матрица. Хорошо известно, что произве-
дение невырожденных матриц является невырожденной матрицей. Сле-
довательно, произведение матриц определяет бинарную операцию
GL
n
(F ) × GL
n
(F ) −→ GL
n
(F ), (A, B) 7→ AB.
Известно, что произведение матриц ассоциативно, а матрица E
n
облада-
ет свойством нейтрального элемента: AE
n
= E
n
A = A. Все это показы-
вает, что GL
n
(F ) является группой. Группа GL
n
(F ) называется общей
линейной группой степени n над полем F . В группе GL
n
(F ) определена
операция транспонирования: A 7→ A
т
, где i, j-й элемент матрицы A
т
63
xn+m (в некоторых книгах это равенство доказывается!). Будем также
полагать по определению, что
                                        n
                                 z     }|  {
                         x−n       −1 −1  −1
                               = x x ...x .

Проверьте, что (xn )−1 = x−n . Для групп, в которых вместо умножения
пишется сложение, вместо x−1 надо писать −x, вместо xn должно стоять
x + · · · + x = nx, и соответственно вместо x−n используется запись −nx.


  Следующий пример является одним из центральных во всей теории
групп.
  Пусть F — поле. Например, это может быть любое из полей Q (ра-
циональные числа), R (действительные числа), C (комплексные числа).
Обозначим через GLn (F ) множество всех невырожденных n × n-матриц
с компонентами из поля F . Напомним, что матрица A называется не-
вырожденной, если ее определитель det(A) не равен нулю. Это эквива-
лентно существованию обратной к A матрицы, то есть такой матрицы
A−1 , что
                          AA−1 = A−1 A = En .

Здесь En — единичная n × n-матрица. Хорошо известно, что произве-
дение невырожденных матриц является невырожденной матрицей. Сле-
довательно, произведение матриц определяет бинарную операцию

            GLn (F ) × GLn (F ) −→ GLn (F ), (A, B) 7→ AB.

Известно, что произведение матриц ассоциативно, а матрица En облада-
ет свойством нейтрального элемента: AEn = En A = A. Все это показы-
вает, что GLn (F ) является группой. Группа GLn (F ) называется общей
линейной группой степени n над полем F . В группе GLn (F ) определена
операция транспонирования: A 7→ Aт , где i, j-й элемент матрицы Aт

                                   63

Страницы