Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Обратно, если
dim(U
1
+ · · · + U
m
) = dim(U
1
) + · · · + dim(U
m
),
то сумма подпространств U
1
+ · · · + U
m
является прямой суммой.
Следствие 3.1.2. Векторы v
1
, . . . , v
n
образуют базис векторного
пространства V тогда и только тогда, если
V = ⟨v
1
⟩ ⊕ · · · ⊕ ⟨v
n
⟩.
Теорема 3.1.6. Пусть U
1
, . . . U
m
— подпространства векторного
пространства V . Тогда равносильны следующие свойства:
1) V = U
1
⊕ · · · ⊕ U
m
;
2) V = U
1
+ · · · + U
m
и U
j
∩ (U
1
+ · · · + U
j−1
+ U
j+1
+ · · · + U
m
) = ∅ для
каждого индекса j, 1 ≤ j ≤ m.
В случае двух слагаемых условие 2) означает, что V = U
1
+ U
2
, и
U
1
∩ U
2
= ∅.
Пусть X — некоторое подмножество конечномерного векторного
пространства V . Рангом множества векторов X называется число
dim(⟨X⟩). Выше уже было отмечено, что из множества образующих
X векторного пространства ⟨X⟩ всегда можно выбрать базис этого
пространства. Вспоминая свойства базиса, выводим отсюда следующее
утверждение.
Лемма 3.1.7. Ранг множества векторов X равен мощности (любо-
го) максимального линейно независимого подмножества, содержаще-
гося в X.
Рассмотрим множество M
n,m
(K) матриц над полем K c n строками
и m столбцами (n × m-матриц). Строки матрицы A ∈ M
n,m
(K) можно
58
Обратно, если

               dim(U1 + · · · + Um ) = dim(U1 ) + · · · + dim(Um ),

то сумма подпространств U1 + · · · + Um является прямой суммой.

Следствие 3.1.2. Векторы v1 , . . . , vn образуют базис векторного
пространства V тогда и только тогда, если

                             V = ⟨v1 ⟩ ⊕ · · · ⊕ ⟨vn ⟩.

Теорема 3.1.6. Пусть U1 , . . . Um — подпространства векторного
пространства V . Тогда равносильны следующие свойства:

 1) V = U1 ⊕ · · · ⊕ Um ;

 2) V = U1 + · · · + Um и Uj ∩ (U1 + · · · + Uj−1 + Uj+1 + · · · + Um ) = ∅ для
    каждого индекса j, 1 ≤ j ≤ m.

В случае двух слагаемых условие 2) означает, что V = U1 + U2 , и
U1 ∩ U2 = ∅.

  Пусть X — некоторое подмножество конечномерного векторного
пространства V . Рангом множества векторов X называется число
dim(⟨X⟩). Выше уже было отмечено, что из множества образующих
X векторного пространства ⟨X⟩ всегда можно выбрать базис этого
пространства. Вспоминая свойства базиса, выводим отсюда следующее
утверждение.

Лемма 3.1.7. Ранг множества векторов X равен мощности (любо-
го) максимального линейно независимого подмножества, содержаще-
гося в X.

  Рассмотрим множество Mn,m (K) матриц над полем K c n строками
и m столбцами (n × m-матриц). Строки матрицы A ∈ Mn,m (K) можно

                                        58

Страницы