Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

дение.
Теорема 3.1.5. Пусть даны подпространства W
1
, . . . , W
m
некото-
рого векторного пространства, и для каждого i, 1 ≤ i ≤ m, дан
базис {w
i,1
, . . . , w
i,k
i
} подпространства W
i
. Тогда, если сумма W =
W
1
+ · · · + W
m
является прямой суммой, то множество {w
i,j
|1 ≤ i ≤
m, 1 ≤ j ≤ k
i
} является базисом пространства W.
Обратно, пусть дан базис некоторого векторного пространства
W , представленный в виде {w
i,j
|1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ k
i
}. Для каждого
i, 1 ≤ i ≤ m, определим подпространство W
i
= ⟨w
i,1
, . . . , w
i,k
i
⟩. Тогда
W = W
1
⊕ · · · ⊕ W
m
.
Доказательство. Проверим свойства базиса для {w
i,j
|1 ≤ i ≤
m, 1 ≤ j ≤ k
i
}. Каждый вектор w ∈ W
1
⊕ · · · ⊕ W
m
можно предста-
вить в виде w = w
1
+ · · · + w
m
, где w
i
∈ W
i
для всех i. Так как даны
базисы пространств W
i
, то каждый такой w
i
можно записать в виде
w
i
=
k
i
j=1
α
i,j
w
i,j
, где α
i,j
∈ K. Тогда для w получаем запись:
w =
m
i=1
k
i
j=1
α
i,j
w
i,j
,
и это означает, что выполнено первое свойство базиса: каждый вектор
можно представить в виде линейной кобинации его элементов. Теперь
покажем линейную независимость элементов предполагаемого базиса.
Пусть
m
i=1
k
i
j=1
α
i,j
w
i,j
= 0.
Вспомним, что векторы
k
i
j=1
α
i,j
w
i,j
принадлежат пространствам W
i
(как
линейные комбинации базисных элементов этих подпространств). Тогда
по определению прямой суммы подпространств каждая такой вектор
56
дение.

Теорема 3.1.5. Пусть даны подпространства W1 , . . . , Wm некото-
рого векторного пространства, и для каждого i, 1 ≤ i ≤ m, дан
базис {wi,1 , . . . , wi,ki } подпространства Wi . Тогда, если сумма W =
W1 + · · · + Wm является прямой суммой, то множество {wi,j |1 ≤ i ≤
m, 1 ≤ j ≤ ki } является базисом пространства W .
  Обратно, пусть дан базис некоторого векторного пространства
W , представленный в виде {wi,j |1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ ki }. Для каждого
i, 1 ≤ i ≤ m, определим подпространство Wi = ⟨wi,1 , . . . , wi,ki ⟩. Тогда
W = W1 ⊕ · · · ⊕ Wm .

  Доказательство. Проверим свойства базиса для {wi,j |1 ≤ i ≤
m, 1 ≤ j ≤ ki }. Каждый вектор w ∈ W1 ⊕ · · · ⊕ Wm можно предста-
вить в виде w = w1 + · · · + wm , где wi ∈ Wi для всех i. Так как даны
базисы пространств Wi , то каждый такой wi можно записать в виде
     ∑
     ki
wi =    αi,j wi,j , где αi,j ∈ K. Тогда для w получаем запись:
     j=1

                                 ∑
                                 m ∑
                                   ki
                           w=               αi,j wi,j ,
                                  i=1 j=1

и это означает, что выполнено первое свойство базиса: каждый вектор
можно представить в виде линейной кобинации его элементов. Теперь
покажем линейную независимость элементов предполагаемого базиса.
Пусть
                           ∑
                           m ∑
                             ki
                                     αi,j wi,j = 0.
                           i=1 j=1

                         ∑
                         ki
Вспомним, что векторы          αi,j wi,j принадлежат пространствам Wi (как
                         j=1
линейные комбинации базисных элементов этих подпространств). Тогда
по определению прямой суммы подпространств каждая такой вектор

                                      56

Страницы