Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

тем же самым, так как в любых двух записях вектора v в виде линей-
ных комбинаций векторов из данного бесконечного множества исполь-
зуется только конечное число векторов этого множества. Если бесконеч-
ное множество уже было линейно независимым, то любое его конечное
подмножество линейно независимо. При рассуждении в другую сторону
фактически доказывается, что любое конечное подмножество данного
бесконечного множества линейно независимо, а это эквивалентно опре-
делению линейной независимости всего множества.
Сформулируем некоторые полезные свойства линейно независимых
множеств.
1. Пустое множество линейно независимо;
2. Каждое подмножество линейно независимого множества линейно
независимо;
3. Множество X линейно независимо тогда и только тогда, если v ̸∈
⟨X \ {v}⟩ для каждого v ∈ X;
4. Пусть {v
1
, . . . , v
m
} и {u
1
, . . . , u
k
} — два линейно независимых под-
множества векторного пространства V . Если k > m, то най-
дется вектор u
j
, не равный никакому v
i
и такой, что множество
{v
1
, . . . , v
m
, u
j
} линейно независимо;
5. Если v ̸∈ ⟨X⟩, и множество X линейно независимо, то X ∪ {v}
линейно независимо;
6. Если v
1
, . . . , v
m
— линейно независимые векторы, и α
1
, . . . , α
m
—
ненулевые элементы поля (скаляры), то α
1
v
1
, . . . , α
m
v
m
— также
линейно независимые векторы.
Базисом векторного пространства V называется такое его подмно-
жество X, что X, во-первых, порождает V (является для V множеством
48
тем же самым, так как в любых двух записях вектора v в виде линей-
ных комбинаций векторов из данного бесконечного множества исполь-
зуется только конечное число векторов этого множества. Если бесконеч-
ное множество уже было линейно независимым, то любое его конечное
подмножество линейно независимо. При рассуждении в другую сторону
фактически доказывается, что любое конечное подмножество данного
бесконечного множества линейно независимо, а это эквивалентно опре-
делению линейной независимости всего множества.
  Сформулируем некоторые полезные свойства линейно независимых
множеств.

 1. Пустое множество линейно независимо;

 2. Каждое подмножество линейно независимого множества линейно
    независимо;

 3. Множество X линейно независимо тогда и только тогда, если v ̸∈
    ⟨X \ {v}⟩ для каждого v ∈ X;

 4. Пусть {v1 , . . . , vm } и {u1 , . . . , uk } — два линейно независимых под-
    множества векторного пространства V . Если k > m, то най-
    дется вектор uj , не равный никакому vi и такой, что множество
    {v1 , . . . , vm , uj } линейно независимо;

 5. Если v ̸∈ ⟨X⟩, и множество X линейно независимо, то X ∪ {v}
    линейно независимо;

 6. Если v1 , . . . , vm — линейно независимые векторы, и α1 , . . . , αm —
    ненулевые элементы поля (скаляры), то α1 v1 , . . . , αm vm — также
    линейно независимые векторы.

  Базисом векторного пространства V называется такое его подмно-
жество X, что X, во-первых, порождает V (является для V множеством

                                       48

Страницы