Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Конечномерные векторные пространства можно определить услови-
ем: V = ⟨X⟩ для некоторого конечного множества X. В этом случае
конечномерными будут и все подпространства V .
Множество векторов X ⊆ V называется линейно зависимым, ес-
ли в нем можно выбрать непустое конечное подмножество векторов
u
1
, . . . , u
k
, для которого существует нетривиальная линейная комбина-
ция, равная нулю, т.е.
k
∑
i=1
α
i
u
i
= 0,
и есть такие коэффициенты α
i
, которые не равны нулю. Из этого опре-
деления следует, что каждое множество X, которое содержит нулевой
вектор, является линейно зависимым, так как 1 · 0 = 0 есть нетривиаль-
ная линейная комбинация, равная нулю. Из определения также следует,
что если X линейно зависимо, и X ⊆ Y , то и Y будет линейно зависи-
мым.
Отметим еще, что если v ∈ ⟨X⟩, но v ̸∈ X, то множество X ∪ {v}
линейно зависимо. Линейная оболочка ⟨X⟩ состоит из X, и из всех векто-
ров, которые линейно зависят от всевозможных конечных подмножеств
множества X (если X конечно, то только от самого X). Если множество
X линейно зависимо, то найдется такой вектор v ∈ X, что v ∈ ⟨X \{v}⟩.
Множество X ⊂ V называется линейно независимым, если оно не
является линейно зависимым. Это равносильно тому, что для каждого
конечного подмножества {u
1
, . . . , u
k
} ⊆ X из равенства нулю некоторой
линейной комбинации
k
∑
i=1
α
i
u
i
= 0
непременно следует, что все коэффициенты α
i
должны быть равны ну-
лю. Если множество X само конечно, например, X = {u
1
, . . . , u
k
}, то
для проверки его линейной независимости достаточно брать только од-
46
  Конечномерные векторные пространства можно определить услови-
ем: V = ⟨X⟩ для некоторого конечного множества X. В этом случае
конечномерными будут и все подпространства V .
  Множество векторов X ⊆ V называется линейно зависимым, ес-
ли в нем можно выбрать непустое конечное подмножество векторов
u1 , . . . , uk , для которого существует нетривиальная линейная комбина-
ция, равная нулю, т.е.
                              ∑
                              k
                                    αi ui = 0,
                              i=1
и есть такие коэффициенты αi , которые не равны нулю. Из этого опре-
деления следует, что каждое множество X, которое содержит нулевой
вектор, является линейно зависимым, так как 1 · 0 = 0 есть нетривиаль-
ная линейная комбинация, равная нулю. Из определения также следует,
что если X линейно зависимо, и X ⊆ Y , то и Y будет линейно зависи-
мым.
  Отметим еще, что если v ∈ ⟨X⟩, но v ̸∈ X, то множество X ∪ {v}
линейно зависимо. Линейная оболочка ⟨X⟩ состоит из X, и из всех векто-
ров, которые линейно зависят от всевозможных конечных подмножеств
множества X (если X конечно, то только от самого X). Если множество
X линейно зависимо, то найдется такой вектор v ∈ X, что v ∈ ⟨X \{v}⟩.
  Множество X ⊂ V называется линейно независимым, если оно не
является линейно зависимым. Это равносильно тому, что для каждого
конечного подмножества {u1 , . . . , uk } ⊆ X из равенства нулю некоторой
линейной комбинации
                              ∑
                              k
                                    αi ui = 0
                              i=1
непременно следует, что все коэффициенты αi должны быть равны ну-
лю. Если множество X само конечно, например, X = {u1 , . . . , uk }, то
для проверки его линейной независимости достаточно брать только од-

                                     46

Страницы