Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 41 стр.

g (k) (x) при 0 ≤ k ≤ n − 1 (так как все компоненты матрицы g(Jn (λ))
должны быть равными нулю). Отсюда, согласно известному критерию
для кратности корня, следует, что λ есть корень g(x) кратности n, то
есть g(x) = (x−λ)n u(x). Таким образом, многочлен (x−λ)n удовлетворя-
ет всем условиям, определяющим минимальный многочлен жордановой
клетки.
  Предыдущие утверждения позволяют сформулировать следующий
алгоритм вычисления минимального многочлена произвольной матри-
цы A, для которой можно найти жорданову нормальную форму.

Теорема 2.4.3. Если известна жорданова нормальная форма матри-
цы A, то ее минимальный многочлен есть

               µA (x) = (x − λ1 )s1 (x − λ2 )s2 . . . (x − λm )sm ,

где λ1 , . . . , λm — собственные значения A, и для каждого j, 1 ≤ j ≤ m,
показатель степени sj есть наивысший порядок жордановых клеток,
входящих в жорданову нормальную форму матрицы A, и отвечающих
собственному значению λj .

  Доказательство. Приведение матрицы к жордановой нормальной
форме равносильно выбору жорданова базиса, а базисные векторы мож-
но упорядочивать разными способами. Отсюда следует, что жордановы
клетки в жордановой нормальной форме матрицы можно располагать в
любом порядке. Нам удобно выбрать такой способ упорядочения, когда
клетки, отвечающие одному и тому же собственному занчению, следуют
подряд одна за другой. Это значит, что жорданву нормальную форму
можно представить в виде:




                                       41