Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

В частности, так как 0! = 1, то C
0
m
= C
m
m
= 1. Удобно считать, что
C
k
m
= 0 при k > m. В дальнейшем нам понадобится тождество:
C
k−1
m
+ C
k
m
= C
k
m+1
(2.4.2)
Это одно из важнейших свойств биномиальных коэффициентов. Если
оно почему-то окажется неизвестным к тому моменту, когда материал
этого параграфа будет изучаться, то его можно рассматривать как не
слишком трудное упражнение.
Таким образом, то, что нам необходимо сейчас доказать — это ра-
венство:
J
n
(λ)
m
=
C
0
m
λ
m
C
1
m
λ
m−1
C
2
m
λ
m−2
C
3
m
λ
m−3
. . . C
n−1
m
λ
m−n+1
0 C
0
m
λ
m
C
1
m
λ
m−1
C
2
m
λ
m−2
. . . C
n−2
m
λ
m−n+2
0 0 C
0
m
λ
m
C
1
m
λ
m−1
. . . C
n−3
m
λ
m−n+3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 0 . . . C
0
m
λ
m
Проведем индукцию по m. В случае m = 0 и m = 1 утверждение оче-
видно. Допустим, что оно верно для J
n
(λ)
m
. Рассмотрим
J
n
(λ)
m+1
= J
n
(λ) · J
n
(λ)
m
.
Вычисляя правую часть, и умножая матрицы, получим в i-й строке и
j-м столбце при i ≤ j произведение строки
(0, . . . , λ, 1, 0, . . . , 0),
в которой λ располагается на i-м месте, на столбец
(C
j−1
m
λ
m−j+1
, C
j−2
m
λ
m−j+2
, C
j−3
m
λ
m−j+3
, . . . , C
0
m
λ
m
, 0, . . . , 0)
т
,
где C
0
m
λ
m
= λ
m
располагается на j-м месте, а на i-м и i + 1-м местах
находятся соответственно C
j−i
m
λ
m−j+i
и C
j−i−1
m
λ
m−j+i+1
. В результате
39
В частности, так как 0! = 1, то Cm
                                 0    m
                                   = Cm = 1. Удобно считать, что
 k
Cm = 0 при k > m. В дальнейшем нам понадобится тождество:
                               k−1    k    k
                              Cm   + Cm = Cm+1                                  (2.4.2)

Это одно из важнейших свойств биномиальных коэффициентов. Если
оно почему-то окажется неизвестным к тому моменту, когда материал
этого параграфа будет изучаться, то его можно рассматривать как не
слишком трудное упражнение.
  Таким образом, то, что нам необходимо сейчас доказать — это ра-
венство:

                                                                                
                 0 m  1 m−1  2 m−2  3 m−3        n−1 m−n+1
                Cm λ Cm λ   Cm λ   Cm λ   . . . Cm  λ
                                                                    
                  0       0 m
                          Cm λ         1 m−1
                                      Cm λ    2 m−2
                                             Cm λ          n−2 m−n+2 
                                                    . . . Cm  λ
                                                                    
                                                          n−3 m−n+3 
  Jn (λ) = 
        m
                   0         0          0 m
                                       Cm λ   1 m−1
                                             Cm λ   . . . Cm λ       
                                                                    
                  ..        ..          ..     ..   . . .     .
                                                               .     
                   .         .           .      .             .     
                                                              0 m
                   0         0           0      0   ...     Cm  λ
Проведем индукцию по m. В случае m = 0 и m = 1 утверждение оче-
видно. Допустим, что оно верно для Jn (λ)m . Рассмотрим

                         Jn (λ)m+1 = Jn (λ) · Jn (λ)m .

Вычисляя правую часть, и умножая матрицы, получим в i-й строке и
j-м столбце при i ≤ j произведение строки

                             (0, . . . , λ, 1, 0, . . . , 0),

в которой λ располагается на i-м месте, на столбец
        j−1 m−j+1
      (Cm  λ         j−2 m−j+2
                  , Cm  λ         j−3 m−j+3
                               , Cm  λ      , . . . , Cm λ , 0, . . . , 0)т ,
                                                       0 m


где Cm λ = λm располагается на j-м месте, а на i-м и i + 1-м местах
     0 m

находятся соответственно Cm
                          j−i m−j+i
                             λ      и Cm
                                       j−i−1 m−j+i+1
                                            λ        . В результате

                                           39

Страницы