Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(например, если это n × n-матрицы, то dim(M
n
(K)) = n
2
). Поэтому
счетная последовательность E, A, A
2
, . . . , A
k
, . . . не может состоять из
линейно независимых элементов (напомним, что через E обозначается
единичная матрица). Должна найтись нетривиальная линейная комби-
нация вида a
0
E + a
1
A + a
2
A
2
+ · · · + a
m
A
m
= 0, где по крайней мере один
коэффициент a
i
отличен от нуля. Можно даже считать, что a
m
̸= 0.
Тогда многочлен f(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ · · · + a
m
x
m
отличен от нуля, и
f(A) = a
0
E + a
1
A + a
2
A
2
+ · · · + a
m
A
m
= 0. Таким образом, ненулевые
многочлены со свойством f(A) = 0 существуют для любой квадратной
матрицы A. (Для нулевой матрицы можно взять многочлен f(x) = x.)
Выберем среди всех таких (ненулевых) многочленов многочлен h(x),
имеющий наименьшую степень. Из самого способа выбора h следует,
что h(A) = 0.
Если f(x) = h(x)g(x), то f(A) = h(A)g(A) = 0 · g(A) = 0. (Необ-
ходимо помнить, что символ “0” в этом равенстве означает нулевую
матрицу!) С другой стороны, пусть f(A) = 0. Разделим многочлен f(x)
на многочлен h(x) с остатком:
f(x) = h(x)g(x) + r(x), deg(r(x)) < deg(h(x)).
Подставляя матрицу A вместо x, и вспоминая, что f(A) = 0 и h(A) = 0,
получаем отсюда, что r(A) = 0. Но если r(x) ̸= 0, то неравенство
deg(r(x)) < deg(h(x)) приводит к противоречию с выбором h(x) как
многочлена с наименьшей степенью среди всех тех многочленов, кото-
рые при подстановке A вместо x обращаются в нуль. Оказывается, что
многочлен r(x) ненулевой, r(A) = 0, но степень r строго меньше, чем
степень h. Отсюда следует, что единственная непротиворечивая воз-
можность — это равенство r = 0.
Пусть h(x) = b
0
+ b
1
x + · · · + b
m
x
m
. Допустим, что b
0
̸= 0. Тогда,
поскольку h(x) ненулевой, по крайней мере один из коэффициентов b
i
33
(например, если это n × n-матрицы, то dim(Mn (K)) = n2 ). Поэтому
счетная последовательность E, A, A2 , . . . , Ak , . . . не может состоять из
линейно независимых элементов (напомним, что через E обозначается
единичная матрица). Должна найтись нетривиальная линейная комби-
нация вида a0 E + a1 A + a2 A2 + · · · + am Am = 0, где по крайней мере один
коэффициент ai отличен от нуля. Можно даже считать, что am ̸= 0.
Тогда многочлен f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + am xm отличен от нуля, и
f (A) = a0 E + a1 A + a2 A2 + · · · + am Am = 0. Таким образом, ненулевые
многочлены со свойством f (A) = 0 существуют для любой квадратной
матрицы A. (Для нулевой матрицы можно взять многочлен f (x) = x.)
Выберем среди всех таких (ненулевых) многочленов многочлен h(x),
имеющий наименьшую степень. Из самого способа выбора h следует,
что h(A) = 0.
  Если f (x) = h(x)g(x), то f (A) = h(A)g(A) = 0 · g(A) = 0. (Необ-
ходимо помнить, что символ “0” в этом равенстве означает нулевую
матрицу!) С другой стороны, пусть f (A) = 0. Разделим многочлен f (x)
на многочлен h(x) с остатком:

           f (x) = h(x)g(x) + r(x),        deg(r(x)) < deg(h(x)).

Подставляя матрицу A вместо x, и вспоминая, что f (A) = 0 и h(A) = 0,
получаем отсюда, что r(A) = 0. Но если r(x) ̸= 0, то неравенство
deg(r(x)) < deg(h(x)) приводит к противоречию с выбором h(x) как
многочлена с наименьшей степенью среди всех тех многочленов, кото-
рые при подстановке A вместо x обращаются в нуль. Оказывается, что
многочлен r(x) ненулевой, r(A) = 0, но степень r строго меньше, чем
степень h. Отсюда следует, что единственная непротиворечивая воз-
можность — это равенство r = 0.
  Пусть h(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm . Допустим, что b0 ̸= 0. Тогда,
поскольку h(x) ненулевой, по крайней мере один из коэффициентов bi

                                      33

Страницы