Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Итак, при k ≤ m
j
имеется равенство
dim((A − λE)
k
C
j
) = m
j
− k.
Вычисляя размерности левой и правой частей (2.3.1), получим:
r
k
=
m
j
>k
(m
j
− k) + dim(V
′
)
Заменяя k на k + 1, будем иметь
r
k+1
=
m
j
>k+1
(m
j
− k − 1) + dim(V
′
).
Теперь вычислим r
k
− r
k+1
.
r
k
− r
k+1
=
m
j
>k
(m
j
− k) −
m
j
>k+1
(m
j
− k − 1) =
=
m
j
=k+1
(k + 1 − k) +
m
j
>k+1
(m
j
− k) −
m
j
>k+1
(m
j
− k) +
m
j
>k+1
1 =
=
m
j
=k+1
1 +
m
j
>k+1
1 =
= N(λ, k + 1) + N(λ, k + 2) + . . . .
Итак,
r
k
− r
k+1
= N(λ, k + 1) + N(λ, k + 2) + . . . ,
r
k−1
− r
k
= N(λ, k) + N(λ, k + 1) + N(λ, k + 2) + . . . .
Вычитая из второго равенства первое, получаем искомое равенство:
N(λ, k) = r
k−1
− 2r
k
+ r
k+1
,
справедливое для всех k ≥ 1. Так как r
k
= dim((A − λE)
k
V ), и нулевая
степень любого оператора по определению есть тождественный опера-
тор E, то r
0
= dim(V ) = n.
Таким образом, для каждого собственного значения оператора A ко-
личество жордановых клеток данного порядка k, отвечающих собст-
венному значению λ, определяется однозначно, и не зависит от способа
31
  Итак, при k ≤ mj имеется равенство

                            dim((A − λE)k Cj ) = mj − k.

Вычисляя размерности левой и правой частей (2.3.1), получим:
                        ∑
                   rk =     (mj − k) + dim(V ′ )
                                 mj >k

Заменяя k на k + 1, будем иметь
                         ∑
                rk+1 =       (mj − k − 1) + dim(V ′ ).
                              mj >k+1

Теперь вычислим rk − rk+1 .
            ∑               ∑
rk − rk+1 =   (mj − k) −      (mj − k − 1) =
              mj >k                  mj >k+1
              ∑                           ∑                    ∑                  ∑
        =             (k + 1 − k) +             (mj − k) −         (mj − k) +             1=
            mj =k+1                    mj >k+1               mj >k+1            mj >k+1
              ∑              ∑
        =             1+             1=
            mj =k+1        mj >k+1

        = N (λ, k + 1) + N (λ, k + 2) + . . . .
Итак,

         rk − rk+1 = N (λ, k + 1) + N (λ, k + 2) + . . . ,
         rk−1 − rk = N (λ, k) + N (λ, k + 1) + N (λ, k + 2) + . . . .
Вычитая из второго равенства первое, получаем искомое равенство:

                            N (λ, k) = rk−1 − 2rk + rk+1 ,

справедливое для всех k ≥ 1. Так как rk = dim((A − λE)k V ), и нулевая
степень любого оператора по определению есть тождественный опера-
тор E, то r0 = dim(V ) = n.
  Таким образом, для каждого собственного значения оператора A ко-
личество жордановых клеток данного порядка k, отвечающих собст-
венному значению λ, определяется однозначно, и не зависит от способа

                                               31

Страницы