Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ра A, и разложение в прямую сумму инвариантных подпространств
V = V (λ
1
)⊕· · ·⊕V (λ
m
). Затем рассматривается ограничение A на каж-
дое из подпространств V (λ
i
), и задача решается для этого случая. Вы-
берем произвольное λ
i
, обозначим его через λ, и пусть V
′
= ⊕
j,j̸=i
V (λ
j
),
так что V = V (λ) ⊕ V
′
, где ограничение A − λE на V (λ) нильпотентно
(а значит, нильпотентны и ограничения на V (λ) всех (A − λE)
k
при
k ≥ 1), а ограничение A − λE на V
′
невырожденно (а значит, невы-
рожденны и ограничения на V (λ) всех (A − λE)
k
при k ≥ 1). Поэтому,
согласно теореме 2.2.1,
V (λ) =
s
⊕
j=1
C(v
j
, m
j
),
где C(v
j
, m
j
) = ⟨v
j
, (A − λE)v
j
, . . . , (A − λE)
m
j
−1
v
j
⟩, причем (A −
λE)
m
j
−1
v
j
̸= 0, (A − λE)
m
j
v
j
= 0. При этом существует взаимно-
однозначное соответствие между подпространствами C(v
j
, m
j
) и жорда-
новыми клетками вида J
m
j
(λ) в жордановой нормальной форме матрицы
A линейного оператора A. Таким образом, можно выразить количест-
во N(λ, k) жордановых клеток вида J
k
(λ), содержащихся в жордановой
нормальной форме матрицы A, в виде суммы N(λ, k) =
∑
j,m
j
=k
1.
Теорема 2.3.1. Жорданова нормальная форма матрицы A линейно-
го оператора A над полем комплексных чисел определена однозначно.
Точнее, для каждого собственного значения λ матрицы A и для каж-
дого натурального числа k однозначно определено количество N( λ, k)
жордановых клеток вида J
k
(λ), содержащихся в жордановой нормаль-
ной форме матрицы A. Это количество вычисляется по формуле:
N(λ, k) = r
k−1
− 2r
k
+ r
k+1
,
где r
0
= n (порядок матрицы), и r
k
= rk((A − λE)
k
) для k ≥ 1.
28
ра A, и разложение в прямую сумму инвариантных подпространств
V = V (λ1 )⊕· · ·⊕V (λm ). Затем рассматривается ограничение A на каж-
дое из подпространств V (λi ), и задача решается для этого случая. Вы-
берем произвольное λi , обозначим его через λ, и пусть V ′ = ⊕ V (λj ),
                                                                 j,j̸=i
                       ′
так что V = V (λ) ⊕ V , где ограничение A − λE на V (λ) нильпотентно
(а значит, нильпотентны и ограничения на V (λ) всех (A − λE)k при
k ≥ 1), а ограничение A − λE на V ′ невырожденно (а значит, невы-
рожденны и ограничения на V (λ) всех (A − λE)k при k ≥ 1). Поэтому,
согласно теореме 2.2.1,
                                    s
                           V (λ) = ⊕ C(vj , mj ),
                                   j=1

где C(vj , mj ) = ⟨vj , (A − λE)vj , . . . , (A − λE)mj −1 vj ⟩, причем (A −
λE)mj −1 vj ̸= 0, (A − λE)mj vj = 0. При этом существует взаимно-
однозначное соответствие между подпространствами C(vj , mj ) и жорда-
новыми клетками вида Jmj (λ) в жордановой нормальной форме матрицы
A линейного оператора A. Таким образом, можно выразить количест-
во N (λ, k) жордановых клеток вида Jk (λ), содержащихся в жордановой
                                                        ∑
нормальной форме матрицы A, в виде суммы N (λ, k) =         1.
                                                           j,mj =k

Теорема 2.3.1. Жорданова нормальная форма матрицы A линейно-
го оператора A над полем комплексных чисел определена однозначно.
Точнее, для каждого собственного значения λ матрицы A и для каж-
дого натурального числа k однозначно определено количество N (λ, k)
жордановых клеток вида Jk (λ), содержащихся в жордановой нормаль-
ной форме матрицы A. Это количество вычисляется по формуле:

                       N (λ, k) = rk−1 − 2rk + rk+1 ,

где r0 = n (порядок матрицы), и rk = rk((A − λE)k ) для k ≥ 1.


                                     28

Страницы