Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Разделив на ненулевой элемент поля α
r,0
, получим:
B(
1
α
r,0
v
′
) = v
r
+
s
j=r+1
α
j,0
α
r,0
v
j
.
Введем новые обозначения: v
′′
=
1
α
r,0
v
′
, β
j
=
α
j,0
α
r,0
v
j
при j > r. Легко
убедиться, что v
′′
̸∈ U. Полученное выше равенство записывается в
виде:
Bv
′′
= v
r
+
s
j=r+1
β
j
v
j
.
Так как B
m
j
v
j
= 0, и m
r
≥ m
r+1
≥ · · · ≥ m
s
, то B
m
r
+1
v
′′
= 0. Так как
B
m
r
−1
v
r
̸= 0, то B
m
r
v
′′
̸= 0. В самом деле,
B
m
r
v
′′
= B
m
r
−1
v
r
+
s
j=r+1
β
j
B
m
r
−1
v
j
, (2.2.2)
B
m
r
−1
v
r
∈ C(v
r
, m
r
), β
j
B
m
r
−1
v
j
∈ C(v
j
, m
j
), и сумма подпространств
вида C(v
k
, m
k
) прямая. Поэтому, если выражение (2.2.2) равно нулю, то
нулю равны и все его слагаемые. Но одно из них, а именно B
m
r
−1
v
r
, по
предположению не является нулем.
Таким образом, существует циклическое подпространство C(v
′′
, m
r
+
1). Покажем, что
V = (
s
⊕
j=1,j̸=r
C(v
j
, m
j
)) ⊕ C(v
′′
, m
r
+ 1).
Положим W =
s
j+1,j̸=r
C(v
j
, m
j
) + C(v
′′
, m
r
+ 1). Начнем с того, что по-
кажем равенство V = W . Ясно, что W ⊆ V . Покажем, что V ⊆ W . Для
этого достаточно уб едиться, что в W содержатся все элементы какого-
либо базиса V . В нашем распоряжении имеется базис V , состоящий из
базисов циклических пространств C(v
j
, m
j
), 1 ≤ j ≤ s, и вектора v
′′
.
Ясно, что v
′′
∈ C(v
′′
, m
r
+1) ⊆ W. Далее, C(v
j
, m
j
) ⊆ W при j ̸= r. Оста-
ется разобраться только с базисными элементами C(v
r
, m
r
). Поскольку
25
Разделив на ненулевой элемент поля αr,0 , получим:

                                 1 ′             ∑s
                                                      αj,0
                             B(      v ) = vr +            vj .
                                αr,0            j=r+1
                                                      αr,0

                                                  αj,0
Введем новые обозначения: v ′′ = α1r,0 v ′ , βj = αr,0 vj при j > r. Легко
убедиться, что v ′′ ̸∈ U . Полученное выше равенство записывается в
виде:
                                                       ∑
                                                       s
                                    ′′
                                 Bv = vr +                 βj vj .
                                                   j=r+1

Так как B mj vj = 0, и mr ≥ mr+1 ≥ · · · ≥ ms , то B mr +1 v ′′ = 0. Так как
B mr −1 vr ̸= 0, то Bmr v ′′ ̸= 0. В самом деле,
                                                       ∑
                                                       s
                        mr ′′           mr −1
                      B v =B                    vr +           βj B mr −1 vj ,   (2.2.2)
                                                       j=r+1

B mr −1 vr ∈ C(vr , mr ), βj B mr −1 vj ∈ C(vj , mj ), и сумма подпространств
вида C(vk , mk ) прямая. Поэтому, если выражение (2.2.2) равно нулю, то
нулю равны и все его слагаемые. Но одно из них, а именно B mr −1 vr , по
предположению не является нулем.
   Таким образом, существует циклическое подпространство C(v ′′ , mr +
1). Покажем, что
                                s
                   V =( ⊕               C(vj , mj )) ⊕ C(v ′′ , mr + 1).
                             j=1,j̸=r

                    ∑
                    s
Положим W =                  C(vj , mj ) + C(v ′′ , mr + 1). Начнем с того, что по-
                  j+1,j̸=r
кажем равенство V = W . Ясно, что W ⊆ V . Покажем, что V ⊆ W . Для
этого достаточно убедиться, что в W содержатся все элементы какого-
либо базиса V . В нашем распоряжении имеется базис V , состоящий из
базисов циклических пространств C(vj , mj ), 1 ≤ j ≤ s, и вектора v ′′ .
Ясно, что v ′′ ∈ C(v ′′ , mr +1) ⊆ W . Далее, C(vj , mj ) ⊆ W при j ̸= r. Оста-
ется разобраться только с базисными элементами C(vr , mr ). Поскольку

                                                 25

Страницы