Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 23 стр.

   Доказательство. Проведем индукцию по n = dim(V ). В случае
n = 1 у пространства V есть базис из одного вектора v ̸= 0, причем
по лемме 2.1.3 будем иметь Bv = 0. Таким образом, само пространство
V = ⟨v⟩ — циклическое подпространство.
   Допустим, что утверждение лммы выполняется для всех вектор-
ных пространств, размерности которых строго меньше n, и всех дей-
ствующих на таких пространствах нильпотентных операторов. Пусть
dim(V ) = n > 1. Из доказательства леммы 2.1.3 следует, что включе-
ние BV ⊂ V строгое, так что dim(BV ) < n. Выберем любое подпро-
странство U пространства V , содержащее BV и имеющее размерность
dim(U ) = n − 1. Тогда U будет инвариантным относительно B. В са-
мом деле, если u ∈ U ⊂ V , то Bu ∈ BV ⊆ U . Ограничение оператора
B на инвариантное подпространство U есть линейный нильпотентный
оператор на (n−1)-мерном пространстве U . Следовательно, к нему при-
менимо предположение индукции, и
                                        s
                                 U = ⊕ C(vj , mj ),
                                       j=1

где C(vj , mj ) = ⟨vj , Bvj , . . . , Bmj −1 vj ⟩, vj ∈ U , B mj −1 vj ̸= 0, B mj vj = 0.
Подпространства C(vj , mj ) инвариантны относительно ограничения B
на U , следовательно, они инвариантны и относительного самого опера-
тора B. Ясно, что можно выбрать индексы так, чтобы m1 ≥ m2 ≥ . . . ≥
ms .
   Если v ∈ V — любой вектор, не содержащийся в U , то подпростран-
ство, порожденное вектором v и подпространством U , должно совпадать
с V (так как v ̸∈ U , то оно строго больше U , и потому его размерность
строго больше n − 1 = dim(U ), а значит, она равна n = dim(V )). Таким
образом, у нас есть базис всего пространства V , состоящий из вектора
v, и из всех базисов всех подпространств C(vj , mj ). Вектор Bv ∈ BV ⊆ U

                                             23