Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 21 стр.

или комплексных чисел, то вычисления не нужны, так как характерис-
тический многочлен матрицы равен (−1)n xn и можно применить дока-
занную выше лемму.
  То же самое справедливо и для нижнетреугольных матриц.

  Итак, если B есть нильпотентный оператор, то для каждого v ∈ V
либо v = 0, либо существует целое k > 0 такое, что B k v = 0.

Лемма 2.2.4. Пусть v ̸= 0, B k−1 v ̸= 0, и B k v = 0 для некоторого
целого k ≥ 1. Тогда векторы v, Bv, B 2 v, . . . , B k−1 v линейно независимы.

  Доказательство. Вспомним, что B 0 = E, так что v = B 0 v, и рас-
смотрим некоторую нетривиальную линейную зависимость:

                   α0 B 0 v + α1 Bv + · · · + αk−1 B k−1 v = 0.

Пусть α0 = · · · = αr−1 = 0, αr ̸= 0. Разделив на αr , получим зависимость
вида:
                  B r v + γ1 B r+1 v + · · · + γk−1−r B k−1 v = 0.

Применим к обеим частям этого равенства оператор B k−1−r . При j > 0
получим B k−1−r B r+j v = B j−1 B k v = 0, так как B k v = 0 по предположе-
нию. Поэтому от всей последней линейной зависимости остается только
равенство: B k−1 v = 0, которое противоречит предположению о том, что
B k−1 v ̸= 0. Лемма доказана.

Определение 2.2.5. Пусть, как и выше, B — нильпотентный опера-
тор, v ∈ V , v ̸= 0, B k−1 v ̸= 0, и B k v = 0 для некоторого целого k ≥ 1.
Обозначим подпространство ⟨v, Bv, B 2 v, . . . , B k−1 v⟩ через C(v, k), и бу-
дем называть его циклическим подпространством нильпотентного опе-
ратора B.

  Следующая лемма является очень важной для дальнейшего.

                                        21